在高中数学教学中开展研究性课题的尝试

浙江省萧山中学 沈建刚

一、引言

著名数学家吴文俊院士在《数学教育不能从培养数学家的要求出发》一文中指出，“任何数学都要讲逻辑推理，但这只是问题的一个方面，更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活，其他学科出现的数学问题。学校给的题目都是有答案的，已知什么，求证什么都是清楚的，也一定是做得出的，但是将来到社会上，所面临的问题，大都是预先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案，这就要求培养学生的创造能力，学会处理各种实际问题的数学方法。”

在新编普通高级中学《数学教学大纲》中，将研究性课题描述为：对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。数学研究性课题强调学生的实践活动，注重学生对问题的主动探究，主张对学习过程的真切体验，在开放、自由的环境中，全面培养学生的数学素养和人文素养，实现人的内在提升与主体的解放。

如何在数学学科中落实研究性学习？怎样有效的改变教师的教学方式与学生的学习方式？是当前摆在每位数学教师面前的难题，也是当前数学教学改革的关键所在。研究性课题纳入大纲，有力的促进了研究性学习的开展，使教师对研究性学习的认识更加具体、更加明确，实施更有方向、更有保障。我校数学组全体老师通过对新大纲中研究性课题理论的学习，结合学校实际，利用现代信息技术，对研究性课题的开展做了一些尝试。

二、对课题目标的认识

国家设置研究性学习的目的：改变学生被动接受知识的学习方式，构建开放的学习环境，提供多渠道获取知识、应用知识的机会，形成积极的学习态度和良好的学习策略，培养创新精神和实践能力。在这一总目标下，渗透到数学学科，大纲给研究性课题提出了四个具体的教学目标：

 学会提出问题和明确探究方向。研究性课题着眼于学生的主体地位，学生作为实践主体按自己的兴趣和需要从生活中选择并确定研究方向，这样，容易变被动地接受知识为主动地获取知识，变简单地死记硬背为灵活地运用和拓展。

 体验数学活动的过程。建构主义学习理论认为，世界是客观存在的，但对世界的理解和赋予意义却是个人自己决定的，学习并非是简单地从不知到知的过程，而主要是学习者在原有的认知结构基础上，通过对被感知物全面、多方位体验而主动建构意义的过程。因此，对抽象的数学把握，体验就显得尤为重要。

 培养创新精神和应用能力。如何在学科教学中体现创新教育的要求，一直是改革的重点和难点。研究性课题从教学的设计和组织中寻找突破口，着眼于学生“怎么学”，“怎么研究”，帮助学生获得健康完善的学习策略，使认知能力和非认知能力得到全面的发展。使学生在亲身实践的过程中培养科学的态度，创新的意识，和创新的思维方法。

 以研究报告或小论文等形式反映研究成果，学会交流。与其他学科相比，数学更关注表述，抽象的问题加以形象的表示，也是数学学习很重要的一部分。组织学生以写研究报告或小论文等形式反映研究成果，不仅仅是使他们学会了研究报告和论文的格式，更重要的是使他们学会了表述数学。准确、科学的表述无异于一次数学的再创造。

三、实施课题的几个切入点

开展研究性课题，首要任务是学习内容的选择，既要以所学的数学知识为基础，又要密切结合生活和生产实际，主题既要激发学生的学习兴趣，又要考虑学生的学习特征和学习水平，使学生在学习中有所获、有所思。在实践中，我们主要是从以下几个点切入的。

1、从教材所给的研究性课题、阅读材料、实习作业等处切入

新教材中几乎在每一章节后都安排了阅读材料或实习作业或研究性课题，其中阅读材料往往是对本章知识的产生和发展做简要的介绍，可以要求学生通过网络、图书馆、专家访谈等方式，收集资料，作出一个详细的报告；实习作业往往给一种思路，要求学生根据这个思路，自己提出一个问题，设计解决方案，调查收集数据，分析解决问题；而研究性课题给出了研究内容，要求学生开展研究并得出结论。

如：在新教材第一册85页中的阅读材料《对数和指数发展简史》，我们指导学生在阅读材料的基础上，就材料中感兴趣的事作进一步的研究。布置任务后，一些同学，利用课本给出的网址：中对对数的发展作了进一步的探究，也有一些同学对材料中提到的数学家产生了兴趣，他们通过去图书馆查阅资料，对数学家欧拉，和牛顿在数学中的贡献等有了进一步的了解。

如果我们教师能做一个有心人，那么我们发现教材中有许多值得学生去了解，去学习的材料，通过对这些材料的挖掘，使学生既了解了数学的发展史，又能从一些数学的巨匠中学到课堂上无法学到的东西。

2、从知识的延伸处切入

由于教学大纲、教材内容等方面的限制，教材中的很多内容不可能过分地展开和延伸，所以可以在其中，选择一些既能让学生感兴趣，又不加重学生负担的内容作为课题。

如：在学习圆锥曲线过程中，利用探照灯实验使学生对抛物线的光学性质发生兴趣，激发他们的研究热情。

又如：在《数列》一章的学习中，通过观察向日葵籽的分布规律指导学生认识斐波那契数列。

需要特别指出的是，知识的延伸应该以不加重学生负担、学生感兴趣为原则，同时不以学生对延伸知识的掌握程度为评价标准，关注的只是学生在探究过程中的体验。

3、从开放型问题处切入

开放型问题型由于具有条件、结论的开放，容易给学生一个广阔的思维空间和研究的自由度，使其可以在不同的经验和能力水平上，提出自己的思路和方法。如：我们开展的“多姿多彩的中点轨迹”课题，在《几何画板》上我们设置情景图：圆O及圆上的动点P，和定点A，要求学生探究PA中点M的轨迹。我们鼓励学生尽量大胆的变换条件和结论，作深入的研究。这样做，使学生的发散思维得以充分的展示，也使学生有一次创新的体验。

4、从知识在生活中的应用处切入

新的《数学教学大纲》中对学生解决实际问题的能力作了明确的规定：会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和生活中的数学问题；会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识。可见应用知识解决生活中的问题，已经被理解为提高学生素质的有效途径。而且由于数学应用的广泛性，和生活的丰富多彩，学生可以在身边找到许许多多自己感兴趣的数学问题，通过对这些问题的研究，不仅加深了对数学知识的理解，也能从社会问题的参与中增强对社会的使命感和责任性。

如：家庭用电每度0.53元，煤气每瓶53元（31.5±0.5公斤），使用电和煤气谁更合算？

又如：根据最新的银行利率，怎样存钱获利最多？

又如：楼层中一户人家轮到收水费，由于收费人抄的用户分表比自来水公司抄的楼层总表时间要晚，出现了分表总数比抄表数多的情况，问怎样处理比较合理？

我们不断提醒学生要做有心人，学会从身边寻找数学问题，也鼓励学生大胆走入社会，学会调查，学会发现。

四、利用现代信息技术开展课题。

现代信息技术与学科的整合，实现了学习内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式、和师生互动方式的变革，为学生的学习和发展提供了丰富的教学环境和有力的学习工具。合理的利用Office工具软件、校园网和Internet网、数学教学软件，为数学研究性课程的开展提供了有力的保障。

1、 Office工具软件的运用

微软的Office工具软件以良好的界面、简便的操作和强大的功能为全球的用户所喜爱，在数学研究性课题开展的过程中合理的利用它，将极大的方便学生对数学数据的采集、处理，丰富研究成果交流的方式，很好的激发学生的研究热情。

在实践中我们了解到，在高一的《信息技术》课中，学生基本已学会了《Word》和《Excel》的一些基本的操作。与此同时，我们利用讲座的形式，让学生进一步学习《Word》中的数学公式编辑器，幻灯片制作软件《Powerpoint》。虽然学会使用这些工具，花费了老师和学生的一些时间，但是，事后我们发现，工具的使用很好诱发了学生的兴趣，促使课程的进行，也提升了研究的品质。如0307班吴志坚同学在论文《用图象让数字“说话”---谈统计图表的应用》中，利用了《Excel》将采集的各种交通工具流量表制作形象、直观的各种图形，使隐藏的规律显现。在04届7、8班的研究性课题《生活中的函数》交流研讨课上，有些合作小组利用了《Excel》，对收集的数据作了图象的处理，然后根据图象利用学过的函数图象去拟合，从而确定拟合函数，再用拟合函数去预测未来发生的事。也有些合作小组较好的利用《Powerpoint》，将他们的课题的研究过程用演示文稿，形象、直观、清晰的展示出来，起到了很好的效果。

吴志坚同学用折线图绘制摩托车的通行量图

吴志坚同学用饼图绘制的各种车型通行量百分图

2、 网络的运用

由于网络本身所呈现的信息资源的丰富性、时间空间的无限开放性、信息资源的共享性，为数学研究性课程的开展提供了一个非常优秀的平台。在这个大平台上，学生所接触的信息很多，能产生共鸣的机会也相应增加，使他们涉及的内容更贴近自身，对知识的探究就更加自觉，也更加的深入，更加的内化。

我们在课题《利率在生活中》的开展中，在网络的运用上作了一些尝试。

我们老师先制作这个课题的主题网站，网站开辟几个小栏目，在“问题的提出”栏中设置课题的问题情景，诱发学生的研究动机；在“范例”栏中展示老师所做的案例，激发学生的灵感；在“链接”栏中，提供一些材料与探索途径，帮助学生确定探究的方向。

我们做的研究性学习主题网站

实验中，0210班林少伟同学对中国工商银行网站上的个人住房贷款计算器（）产生兴趣，他想对它的计算公式作一个探究。他通过的多次实验，推算，验证，最后他拿出了公式：

其中：x为月还款额（等额），a为贷款月利率，n为借款期限（年），M为借款总额。

这个公式虽然很平常，但是，来自自己的发现，来自自己的探索，对他来说这已超出掌握知识本身的意义。网络给了学生发现问题，探究知识的机会。

0211班高迪锋同学对银行的各种定期存款方式发生兴趣，假设有1万元钱需存10年，他发现储户可以选择定一年、定三年、定五年的存款方式。然后他分别计算了三种存款方式的获利大小，列表作了比较，发现定五年中间转存一次的方式获利最多，最后他还对银行的这种利率设置的合理性做了解释。从对各种存款方式的认识，到利率、税率的计算，到银行利率高低的设置的考虑，一切动作都有学生自己把握，学生作为研究的主体能够真切的感受到课题实施中的酸甜苦辣。

高迪锋同学对三种存款方式所得本息的比较图（1*10表示一年期存10次，中间转存9次）

课程开展的网络化，是技术发展的必然，在这方面我们的探索还是很有限的，如网络的远程交互功能，资源的共享上都有待于我们的探索，我们对网络的前景充满期盼，我们设想建立自己的数学网站，开辟研究性课题的专栏，让研究性课题成为所有人参与、所有人共享的工作。

3、 数学教学软件《几何画板》的运用。

《几何画板》以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、动画、跟踪轨迹等，显示或构造出较为复杂的图形，把较为抽象的数学对象形象生动化，让人在动态中认识数学对象的不变关系。在课题开展过程中，引导学生在其中进行观察、猜想、验证、推理与交流等活动，将有助于激发学生对数学问题的探索热情，保证探索的有效进行，使学生积累丰富的数学体验，有利于数学创新意识的形成。

在《生活中的函数》课题开展过程中，老师引导学生用《几何画板》研究如下问题：

如图，某房地产公司在一矩形地块ABCD上规划建造一个小区公园，矩形GHCK，为了保护文物区△AEF，矩形公园的顶点G不能进入保护区内，已知AB=200m，AD=160m，AE=60m，AF=40m。问公园如何规划能保证面积最大？

实践中，学生用画板以1∶4000的比例作出实际问题的模拟图，G取为线段EF上任一点，利用画板的测算功能，测算出线段PG的长，矩形GHCK的面积。拖动G点，面积的大小随之改变，利用显示的面积值，找到面积最大时G点的位置。其中，有一个同学，巧妙地在坐标系中作出了以PG长为横坐标、矩形GHCK的面积为纵坐标的点，再作出该点关于动点G的轨迹，面积随着点G的变化规律被清晰的揭示了出来。

在常规的教学中，此类应用问题，一般老师总是就题论题，指导学生建立函数关系式，利用函数最值解决问题，表面上看似乎无可厚非，然后，如果从学生的角度去思考一下，学生实际缺少对所给问题的感性认知，忽视对多种解决问题方法的探求，也错失了本可以有更多体验的机会。

在“研究公园最大面积问题”中学生所作的模拟图

而学生在利用画板处理问题的过程中，我们发现他们并没有去建立函数关系式，他们用的是实验的方法，借助画板快速的运算功能，测算出了点G在所有位置时的面积，最后找到答案，用最朴素的方法解决了问题，而作出图象的这个同学，显然是创造性的解决了问题。在实验过程中，我们也发现，许多同学并没有满足答案，相反，实验中规律的发现更促使他们对规律的探索，使他们又回到了利用函数的方法上，但是，此时他们对函数方法的理解，对数学在生活中应用的感悟就大不一样了，这大概也就是研究性课题设置的意义所在。

五、课题的实施程序与案例

不同的研究性课题，由于涉及的内容不同，研究的方式，实施的程序也会有所不同，以下是我们在做新教材中“函数的实际应用”后面的实习作业时的实施步骤。我们认为有一定的代表性。

1、 宣传、动员；通过展示上一届同学《函数的实际应用》所做的实习作业，激发同学的参与欲望，并使同学了解实习作业的大概操作思路。

2、 先期知识的学习；软件《Powerpoint》、《Excel》、《word》、《几何画板》，拟合函数，数据统计等相关知识的学习。

3、 合作小组的组成，任务的布置；以自由组合的形式组成3至7人的课题小组，推选出组长，讨论课题内容和实施计划，同时宣布外调的纪律和要求。

4、 调查、研究，掌握第一手的材料；按计划去外面调查，或上网、或跑图书馆查资料。

5、 整理、分析数据，制作图象、表格；对收集的数据先做初步的整理，再利用几何画板或Excel制作成图象或表格。

6、 对得到的图象用学过的函数去拟合，通过计算得到拟合函数的解析式；如没有找到合适的简单函数，建议学生采用分段函数加以拟合。

7、 利用得到的函数关系式，对一些实际问题作一些初步的预期；得到函数关系式，主要是为了作一些预期，可以鼓励同学就实际问题做各种大胆的预期，并建议同学对预期的结果作合理的解释。

8、 写出实习报告；可以按课本的格式写出实习报告，也可以自主行文。

9、 利用Powerpoint制作成果汇报文稿，开成果交流会。对照实习报告，结合研究的体会，每一个课题小组都要求制作出演示文稿，在交流会上展示与交流，展示会教师应让学生唱主角，发动每个课题小组派一人发言，同时鼓励其他小组同学提问，一个个精彩的发言与一个个幽默的提问，能使每个同学感受到课题所带来的知识与快乐。

案例、萧山区城镇居民家庭人均收入调查报告（0501班陈凯小组）

调查资料（1986-1998年萧山区城镇居民家庭人均收入）

作图分析：

函数拟合：

现象分析：由图象可知，人均收入增长可分为三个阶段：

1. 86-92年增长速度比较缓慢，这是由于那时改革力度还不够大，思想还没完全开放。

2. 92-94年，由于92年邓小平的南巡讲话和党的十四大的召开，使改革开放大到了高潮，增长速度明显加快。

3. 94-98年，随着收入基数的增大，增长速度有些放慢，但还是以较快的速度增长。

预测：萧山区城镇家庭人均收入还是会继续以较快的速度增长。

六、实施课题的意义

1、研究性课题很好的激发学生的活力。从课题的确立、到课题的组织实施、及成果交流，学生都倾注了很大的热情，这是我们平时的教学活动很少能见到的学习气氛，因为要他们自己找课题，因为要去外面搞调查，富有挑战性的工作刺激了他们，也激发了他们的活力。许多时候，我们真惊讶学生的创造力。在完成《函数的实际应用》课题中，如有学生研究了某歌星某首歌上榜前几周的票数，然后得出函数规律，再用函数预测该歌下榜的时间。又如有同学收集了中国、日本、美国近几年的GDP增长率，然后预测中国GDP赶超美国、日本的时间。不同的同学根据不同的兴趣爱好，做他们感兴趣的事，很好的调动了他们的热情。

2、研究性课题给每个同学锻炼各种能力的机会。研究性课题的实施过程是对学生各种能力考验的过程，课题的实施需要小组成员密切的合作，需要同学学会相处、交流、合作，去外面调查需要社会活动能力，写调查报告、成果交流，需要的是表达的能力。

3、研究性课题加深了学生对数学本质的认识。学生利用数学的方法、数学的思想解决了现实生活中的问题，对他们是很好的启发，有利于对数学的认识，也促使他们更好的学习数学知识、数学的方法、数学的思想。

七、课题引发的反思

实践中我们发现，一个课题的开展往往需要先期的动员，预备知识的培训，课题的组织发动，指导实施，成果交流等众多过程。中间不仅需要学科内老师的参与，还涉及学校内各部门的合作，是一个系统的工作，需要学校统筹规划，合理的布置。

为了给学生更多体验的机会，课题的开展必须有充足时间的保证，但是在实践中，许多时候，老师也是力不从心。因为在繁重的课业负担下，学生真的无法顾及课题，更谈不上深入的探索和广泛的接触。研究性课题呼唤自由的学生，自由的天空。

在指导学生过程中，我们最深的体会是老师要学习，现代信息技术，相关学科的知识，都需要我们去储备，去更新，“给学生一杯水，老师必须有一桶活水”。

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