08070312指导教师：**：圆周率在数学中是一个非常重要的常数，受到广泛关注。古今中外一代代的数学家为计算献出了自己的智慧和劳动，人类对值的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。本文首先研究圆周率计算的发展历程，然后给出了利用计算机求解圆周率的三种算法的基本原理。借助Mathematica软件编程给出了每一种算法的计算结果和误差分析，利用Matlab软件对所得数据进行了分析和比较，对三种算法的优缺点进行了讨论，最后阐述了从计算圆周率的过程中得到的启示。关键词：圆周率；计算；近似值；数学实验Abstract:mostimportantconstanthasbeenintensivelystudiedrecently.paper,wefirstdiscussdevelopmentprocesswegivebasicprinciplesthreealgorithmscomputer.UsingMathematicaMatlab,wegivethreealgorithmsdisadvantages.Finally,wegetsomeinspirationfromaboveresearch.Keywords:；calculation；approximation；mathematicalexperiment2.2.4计算机运算时期103借助计算机求解圆周率的方法123.1数值积分法123.1.1算法原理123.1.2计算结果及误差分析143.2泰勒级数法173.2.1算法原理173.2.2计算结果及误差分析183.3蒙特卡洛法213.3.1正方形内投点法213.3.2蒲丰投针法253.3.3随机整数互素法274从圆周率计算中得到的启示3031参考文献32绪论我们知道，平面上圆的周长与直径之比是一个常数，称为圆周率，记作。

在日常生活中，人们经常与打交道，的计算伴随着人类的进步而发展，许多数学家在其计算上发费了巨大的精力。有些数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量一个国家当时数学发展的一面旗帜[1]”。我国伟大的科学家祖冲之（公元429—500年）在前人的基础上深入地研究了圆周率，经过长期坚持不懈的努力，求出了当时世界上最好的近似值，他利用割圆术，求出了精确到小数点后七位数字的圆周率，并且明确指出了圆周率的取值在3.1415926和3.1415927之间，这一举世瞩目的成就在世界上领先了一千多年。在很长一个时期里，计算的值是数学上一件重要的事情。本课题将从圆周率的简史和重要性开始，了解人们为什么这么执着的计算着圆周率。接着分析圆周率计算的四个时期，更清楚的知道人们为探索圆周率花费的心血，使我们当代大学生受益匪浅，启发我们不仅要学习前人的数学思维方式，更要学习他们孜孜不倦，开拓进取，为科学奋斗终身的精神。最后，利用我们所学的数学知识，运用数学实验方法，结合积分，迭代，随机试验等，在计算机的帮助下，介绍了三种计算圆周率的快捷方法：数值积分法，泰勒级数法和蒙特卡罗法。借助Mathematica软件编程给出了每一种算法的计算结果和误差，利用Matlab软件对所得数据进行了分析，对三种算法的优缺点进行了讨论，1.1研究意义作为数学上的一个重要常数,不仅用于圆的计算,而且也在很多的公式中出现,就我们现在的中学数学教材来说,数学中的初等几何、高中的立体几何、代数中的三角函数、统计学等等都要用到,它是我们最熟悉的无理数；在物理学科中也有很多的公式要用到,比如单摆周期的公式、库仑研究的两个带电质点的相互作用力的公式中也有它的身影,还有其他的科学分支中也要用到,在科学史上有重要的地位。

同时从其发展史可以看出在计算圆周率的过程中用到了极限的概念、微积分的思想、概率统计的理论,我们还要有实数的理论,除了这些以外,还要靠数学和科学技术的发展,它展示了数学思想、方法的发展历程,在寻求圆周率的计算过程中也发现了很多的问题,从而推动了数学的发展,促使人们不断为提高计算速度而寻找新的计算方法、改进计算的手段。正如前文中提到的“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。”因此,圆周率的发展历史从一个侧面反映了数学的发展历史尤其是算法的发展史,而且还是计算机科学的发展史,代表了当时的计算机科学的水平[2]。几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。在中国有刘徽、祖冲之等，在国外有阿基米德、卡西等。近代科学家如华罗庚、严士健等在其数论论文中也对圆周率问题进行了探讨。古往今来，从未有哪一个数学常数能向圆周率那样吸引众多的学者。圆周率在各个时期的文明中都像一颗闪耀的明珠，它往往能够在一定程度上折射出该文明数学发展的水平[3]。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现，这充分显示了数学方法的奇异美。

也使我们充分认识到数学的奥秘，促使我们从多角度思考解决问题，不断的创新以满足数学科学的发展。由于对圆周率的认识过程在一定程度上反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面，因此圆周率的相关问题一直受到古今中外众多学者的关注，如263年刘徽在注释《九章算术》时求得了的近似值，南北朝时代祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的值。15世纪初卡西在求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的记录。此后，在数学家的探索下，到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高记录。随着计算机的发展，数学算法的不断创新，的计算更加精确。进入新世纪以来，国内许多学者开始借助计算机来探讨圆周率的计算[3-9]，他们设计了许多的算法，取得了很好的结果，例如利用Excel软件产生随机数来模拟撒芝麻的试验来估计圆周率的值；利用Mathematica软件，借助随机数的思想，利用蒙特卡洛法研究圆周率的近似值等。1.3本文的研究方法和主要解决问题本课题将首先通过查阅文献法研究圆周率的发展历程，首先了解一下什么是圆周率和圆周率计算经历的四个时期：经验型获得时期、几何推算时期、解析计算时期和计算机运算时期。

通过这些历史漫谈古今中外圆周率的计算史。接着，借助借助Mathematica和Matlab软件，利用数学实验的方法研究利用计算机求解圆周率的算法，主要研究三种算法：数值积分法、泰勒级数法和蒙特卡罗法。针对每一种算法，我们利用Mathematica软件编程给出每一种算法的计算结果和误差，利用Matlab软件对所得数据进行了绘图分析，并对三种算法的优缺点进行比较、讨论，最后运用归纳总结法，阐述从计算圆周率的过程中得到的启示。圆周率简介和圆周率计算的四个时期2.1圆周率的简史及其重要性所谓圆周率,通俗地说,就是圆的周长与直径之比,它是一个常数。这个数不仅是无理数,而且是超越数[3]。在距今天4000年前的巴比伦王国它已被发现,当时认为圆周率的值是3或。大约2600年前,就提出“化圆为方”问题即“作与圆相等面积的正方形”，此问题成为世界三大难题之一。公元前3世纪，古希腊数学、物理学家阿基米德（Archimdes,B.C.287-B.C.212）提出“将圆的半径作为高，将圆周的长度作为底边的三角形的面积就等于圆的面积”，通过这种方法得到圆面积的计算公式为。 作为圆周率的符号，目前全世界都在使用。

的语源是希腊语的第一个字母。计算圆周率的方法虽然很多，但归纳起来主要有4种：割圆术（又称为古典算法）、分析法、“沙-波法”、椭圆积分法。这里只重点列举几位很有影响的数学家的结果。 利用割圆术阿基米德科学而准确地首次确定,取两位实用值为3.14或,在理论上指出了利用割圆术可以求得任意准确度的值,第一次在科学中提出误差估计及其精确度和如何确定的问题。中国南北朝时期南朝的科学家、数学家祖冲之(429—500)算出的密率为,精确度是6位小数,化为循环小数时实际上循环节达到112位。祖冲之的密率不但当时最准,而且领先了世界1000多年。335/113便于记忆,将最小的奇数1,3,5各重复一次后“平均”斩为两段,再让大的“住楼上”小的“住楼下”即可。有趣的是,它的分子和分母,都可以用完全平方数简单地表示出来:。更有趣的是7,8,9是连续的自然数,而且。 分析法算主要是将展开为无穷幂级数来求值,在分析法算的大军中有著名的数学家莱布尼茨、牛顿、欧拉等。“沙—波法”即相关二次算法,其代表人物是欧仁沙拉明(EugeneSalamin)和理查德波伦特(Richard Brent)。椭圆积分法是建立在椭圆积分变换的理论上,其代表人物是印度传奇的数学家拉马努金(1887-1920)。

“人工”算经历了三个世纪,最高记录是由美国数学家列维史密斯(LeviSmith)和雷恩奇在1949年6月算出的1121位值。自从1946年有了第一台电子计算机，数学家们便开始了用各种公式借助电子计算机算的历程。据统计到2002年12月,利用计算机已算出12411亿位值。 1995年,美国的达维德贝利和加拿大的彼德波尔文、西蒙普洛菲(Simon Plouffe)发表了一个以三人的姓氏命名的算法,简称BBP公式[4]: 它打破了传统的算法,可以计算的16进制数字任意第位而不用算前面的位。 与“无穷”关系密切,其中的无穷表达式主要指无限连分式(数)、无穷乘积、无穷级数、反正切式等。与“化圆为方”、超越数、希尔伯特第7问题、近似计算、逼近理论、空隙、转圈悖论、伯努利难题、欧拉公式、黄金分割、弧度制、曲线长度、曲线图形面积、旋转体体积等有关。 对的深入研究,扩充、发展了数系理论；对计算的方法和思路可以引发新的概念和思想；能否计算出位数越来越多的值,已成了许多专家用来检验计算机可靠性、精确性、运算速度及计算容量的有力方法、手段和衡量计算进展的指标；的研究成果,在一定程度上反映出一个国家的数学水平。仅从这里就可以看出,在自然科学中有着多么重要的地位和作用。 2.2圆周率计算的四个时期 古往今来,从没有哪一个数学常数能象圆周率那样吸引众多的学者。关于圆周率确切值的计算，几千年来它都是数学家的奋斗目标之一，一代又一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动，回顾圆周率计算的发展历程，大致可分为四个时期。