在历史的长河中再现与学习——勾股定理的证明-米儿火

作品编号：022

投稿时间：2020.7.28

一、教学目标

1、学生在具体的生活情境中发现问题，产生疑惑从而开始新知识的探索，养成良好地独立思考和探究未知的行为习惯。

2、用数格子（或割、补、拼等）的办法和“几何画板”操作法体验勾股定理的探索过程，并能由此猜想出勾股定理，培养学生的探索精神。

3、在教师的引导下，学生探索用“赵爽弦图证法”和“总统证法”证明勾股定理，学生经历“观察—猜想（操作）—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

4、深刻理解勾股定理的内涵，并能运用勾股定理进行简单的计算，解决相关实际问题．

5、学生在中西方勾股定理的发展和证明历史长河中，品味数学文化，感受数学魅力。

二、教学重难点

重点：了解勾股定理的验证的思想方法，体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

难点：理解勾股定理的内涵。

三、教学过程

（一）创设情境，导入新课

以观看台风的实况录像，提出问题：受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处（如图1），这棵树折断前有多高？

设计意图：目的是激发学生的探究欲望，教师引导学生将实际问题转化成数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就可以解决了，同时又对其进行抗台风精神的宣扬。

（二）动手操作，探索新知

【活动1】毕达哥拉斯发现了什么？

2500年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形三边的种数量关系。我们也来观察下面图1中的地面，看看能否发现些什么？

图二

探究活动1：学生自主探索，组内交流，总结发现的结论，最后进行展示。教师根据发现的结论，提炼出直角三角形的三边的关系，为探究活动2做好铺垫。

图三

探究活动2：你能用图3证明等腰Rt△ABC的三边长之间所满足的等量关系吗？

教师总结：两个红色的小正方形可以看成四个全等的小三角形，刚好可以拼接成桔黄色的大正方形，及两个小正方形面积和等于大正方形面积。

即得结论：等腰直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图：通过再现历史，让学生在历史的长河中感觉勾股定理的产生过程，明白数学知识来源于生活，培养学生在生活中探索知识的良好习惯。

【活动2】用“几何画板”探索一般直角三角形三边之间的关系

请同学们注意观察下面的操作演示，你能得到什么结论？

探究活动：

1、改变直角三角形的两条直角边，你发现哪些量改变，哪些量不变？

2、如果改变直角三角形的三条边的长度都改变，结果又是怎样的？

【猜想】根据以上2个探索活动，我们可以猜想：

命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么

设计意图：通过几何画板的演示，直观展示直角三角形三边的关系，进一步验证活动1的结论，培养学生数形结合思想。

【历史再现】

在古汉语里，人们将手臂弯曲成直角（如图4），上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。在直角三角形中，一般的我们把“较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦”。

人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程。最早发现“勾三股四弦五”这一特殊关系的是大禹治水时期，而有历史记载的是奴隶社会时期的商高，据《周髀算经》记载：商高曾对周公说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”也就是我们现在所说的“勾三股四弦五”。勾股定理名称也就来源于此。古埃及也独立的发现了这一关系，据历史考证金字塔下面底座的直角就是利用它建造的。在西方，最早发现勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯，他发现了勾股定理的一般形式，还为此杀了一百头牛来庆贺。因此在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或是“百牛定理”。勾股定理的应用非常的广泛,古自大禹治水,陈子测日，近到宇宙探索它都起了巨大的作用。

设计意图：了解中西方关于勾股定理历史，感受数学之美，了解勾股定理在数学中的价值。

（三）中西对比，证明定理

引言：勾股定理的证明也吸引了无数的数学家和数学爱好者。几千年来人们已经发现了五百多种证明的方法，足以编成厚厚的一本书。因此，勾股定理也可以称为“千古第一定理”。下面我们一起来探讨我国古代的“赵爽弦图证法”和“美国第二十任总统伽菲尔德的总统证法”

【赵爽弦图证法】

汉时(约公元222年)，赵独创了一种叫做“弦图”的图形(如图5)，这是用两个全等的直角三角形(三角形涂上了朱色，它的面积称为“朱实”，图5中的ACBD部分)全成一个矩形，再用这样的四个矩形合成一个空心正方形，中间的空心部分涂上黄色，它的面积叫“中黄实”，又叫“差实”。以弦为边的正方形ABEF叫“弦实”.四个朱实加上一个黄实就等于一个弦实。