既然题主问了一个初等的问题，那就给一个初等的计算方法：

\pi 的定义是圆的周长和直径的比。

经典方法是割圆法，分别做一个圆的内接/外切 正n边形。

在角度制下可以分别写出 两个正n边形的周长和直径的比 为：

n\cdot sin( \frac{180^{\circ } }{n} ) (内接)

n\cdot tan( \frac{180^{\circ } }{n} ) (外切)

取n = 2^{k+1} , (k = 1,2,3,....\infty )

即构成带有半角关系的数列，由半角公式：

sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}},(\alpha (1)

cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}} ,(\alpha (2)

tan \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha}} ,(\alpha (3)

考察等式（2），令：

cos\frac{180^{\circ }}{2^{k+1}} = A_{k}

有：

A_{k} = \sqrt{\frac{1+A_{k-1}}{2}}

由：

A_{1} = cos 45^{\circ } = \frac{\sqrt{2}}{2}

递推得：

A_{k}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{2}

再另：

B_{k} = 2^{k+1}\cdot sin(\frac{180^{\circ }}{2^{k+1}})=2^{k+1}\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{2} =2^{k}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}

C_{k} = 2^{k+1}\cdot tan(\frac{180^{\circ }}{2^{k+1}})=2^{k+1}\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}

当k\rightarrow \infty 时，显然有：B_{k} = C_{k}

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}} = X\Rightarrow X = \sqrt{2+X}，解舍去负值即可得：

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}} = 2

至此即可证明圆的周长和直径的比的存在性、唯一性以及一个递归求法，即：

\pi = 2^{k}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}

恩，这个数还真2啊。

用计算机计算上述式子，可以求出\pi 的值：

代码（mathematica）：Table[N[2^(i + 2) Sqrt[2 - Nest[f, Sqrt[2], i]], 100], {i, 1, 200}]

结果：

当k = 2 时（四边形），

4 \sqrt{2-\sqrt{2}} \approx 3.06147

当k = 3 时（八边形），

8 \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \approx 3.12145

当k = 5 时，（三十二边形）

32 \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}\approx 3.14033

当k = 9 时，（五百一十二边形）

512 \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}}}\approx 3.14159

恩，大概就是这样，上述递推公式每递进一步大概会增加0.5位的精度。

计算到第一百步的时候可以获得小数点后60位的精度，大概是：3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445和3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749446之间的一个数。

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上面是给个简单的例子。

下面来掰扯一下数学史上的圆周率。

古文明：

Pi - Unleashed 一书中第167页有一张图片（未亲考）说的是古巴比伦对圆周率的记述，有

\pi \approx \frac{25}{8}\approx 3.125

古埃及则论述（未考）

\pi \approx (\frac{16}{9})^{2}\approx3 .16049

而古印度又说（未考）

\pi \approx \frac{339}{108})\approx3.13889

中国：

国内的文献中主要如下记载：

对圆周率最早的记载出现于《周髀算经》（盖天说、四分历法、二十四节气、勾股定理等的最早记载）

中的勾股圆方图，上有注“径一周三”即\pi =3

但，《周髀》文中并没有所谓的“径一周三”，所谓的圆方图亦不可考。

所谓“径一周三”的记载最早出现于赵爽的《周髀注》两书成文相差近四百年（B.C. 1 & A.D. 3）

《周髀注》

不过可笑的的是，《周髀注》关于勾股圆方图的注解原文仍不可考。

按理说，关于圆周率的最早记载仍然需要往后推延。不过这个线索断了之后，新的线索比《周髀注》要早许多。

张衡在《灵宪》中有两次论述圆周率的地方一个是后来被刘徽引述的《张衡算》

即\pi\approx \sqrt{10}\approx 3.16228，但这个计算的原引出处亦不可考了（隋唐时期灵宪遗失部分）。

但是根据灵宪中的残文有：

日月其径当天周七百三十六分之一，地广二百三十二分之一

即\pi \approx \frac{736}{232}\approx 3.17241

此文成于 A.D.2 （张衡 78～139）

后来到了公元三世纪，刘徽（225～295），他对圆周率进行了详细的计算，用了和上文类似却不尽相同的割圆法，在取3\times2^{6} = 192边形时得出:

\pi\approx 3.14

关于刘徽的割圆术具体的实现方法这里就不再赘述了，如果有兴趣可以移步

割圆术 (刘徽)

。

后来祖冲之（429～500）计算的圆周率是按照刘徽的割圆术迭代11步之后得出的。这也是二百年之后的事情了。

西方：

最早研究圆周率而且有记载的是阿基米德，亦是用的割圆术类似的方法，在内接正3\times2^{5} = 96边形的时候得出其范围在\frac{223}{71}和\frac{22}{7}之间。

然后时间一下来到了公元17世纪。

德国数学家Ludolph van Ceulen在用了和一开始给出一样的方法，计算得出了小数点后35位。\pi \approx 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288

然后就是历史悲剧：

斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。

他用的是1706年John Machin提出的

梅欽類公式

\frac{\pi}{4} = 4 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{1}{239}\right)

最后，人类徒手计算的巅峰是1948年英国的弗格森（D. F. Ferguson）和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值。

现代：

到了计算机时代pi的计算就成了验证计算机性能的早期方案之一了。前面的给出的迭代公式是可用的，除此之外，还有后来的各式各样的迭代公式。有的迭代速度很快，比如：

Gauss

这个公式每迭代一次就能提高一倍的精度（十进制），所以要1,000,000的精度只要大概20次的迭代。

而且再进一步，得到45,000,000的精度只需要25步迭代。

可能会补充一些

以上