——以“探索勾股定理”一课为例

仝雅坤（山西省太原市成成中学）

薛红霞（山西省教育科学研究院）

摘要：遵循“塔式教学”理论，进行自主探究、合作学习、展示交流等教学环节.让学生在塔式教学中层层攀高，在不学生习环节中形成不同意义的合作，充分利用双平台环境促进高效教学.

关键词：塔式教学；自主探究；展示交流；双平台

现如今，新的教学理念已深入人心，要把课堂还给学生，让学生做自己学习的主人，学生的学习应该更开放、更自主，更适合自己的能力和需求. 而现代信息技术的飞速发展，无疑是给课堂锦上添花. 笔者所在学校实施基于网络和课堂双平台环境下的课堂教学研究（简称双平台）. 基于双平台的教学环境，能给学生提供更多方便、直观、高效的方式，让师生互通更加个性化. 笔者有幸参与了这个研究活动，收获颇丰. 下面以北师大版教材八年级上册“探索勾股定理”一课为例进行分析.

教材分析

教材提供了一些探索、验证勾股定理的方法，其中验证是第二课时的内容，考虑到探索和验证方法之间有着不可分割的联系，且探索过程中的疑惑急需在验证过程中解决，因此，将第二课时的“验证勾股定理”部分的内容也纳入本节课的范围之内，因而有意识地分析、思考各种探究、验证方法之间的联系成为本节课的难点.

教学目标

根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）中对于知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等方面的要求，将本节课的教学目标定为以下几点.

（1）通过多种形式的数学活动探索勾股定理，了解各种探究方法之间的联系，发展空间观念（如“割补”的方法体现了对简单形体空间位置的想象和变换，“探索勾股定理”所用到的图形，体现了对数学算式的几何意义的想象解释）.

（2）运用多种方法验证勾股定理，体会其中蕴涵的数学思想方法，发展学生的推理能力.

（3）经历观察、实验、猜想、验证等自主探究过程，提高自主学习的意识和能力，同时发展信息技术素养，能在合作交流中有所收获.

（4）能用准确的文字语言和几何语言表述勾股定理的内容.

教学设计

“塔式教学”理论首先是塔底的个人自主学习，继而是塔中的小组合作学习，最后是班级师生合作学习.所以根据这一理论将教学过程定为五个环节：情境导入、自主探究、合作学习、展示交流、达标检测.

以下重点分析自主探究、合作学习、展示交流三个环节.

1.自主探究

（1）为什么要安排自主探究？

过去教师讲、学生听的学习方式，学生的学习是被动的，而给学生提供时间、条件，让学生根据自己的情况选择方式、方法自主学习，学生就是自己学习的主人，自然也就有学习的主动性、积极性. 学生在自主学习过程中养成的习惯和形成的能力，才是今后学习、生活中所需要的，是有利于学生发展的.

（2）如何保障自主探究的进行？

要保证学生自主探究顺利进行，教师必须在之前做充分的准备，给学生提供充足、多样的学习资源、方式.考虑到学生的学习能力和对学习方式的喜好不同，以及探究环境的限制，可以给学生提供多种不同的探索发现的方式，如用教材、用实物、用电脑等，并在巡视过程中捕捉典型问题，适当提供引导帮助等.

结合笔者所在学校学生的实际情况，按照学生数学学习程度的不同，创造了“合作组”这个新生机制. 所谓合作组，即组内同质，组间异质.组内同质，则组内学习进度、程度相近，可以在相对集中的时间共同利用资源并产生合作交流.

（3）自主探究的具体流程是什么？.

首先提供如下的学习导航.

学习目标：

（1）通过多种形式的数学活动探索勾股定理，了解各种探究方法之间的联系.

（2）能用至少两种方法验证勾股定理，体会其中蕴涵的数学思想方法.

（3）能用准确的文字语言和几何语言表述勾股定理的内容.

任务探究：

任务1：探索直角三角形三边的数量关系.要求能用准确的语言描述自己的探索过程.

方式1：阅读教材第2页，完成“做一做”的问题.

温馨提示：“做一做”问题（1）中，先画直角边为3和4（或5和12）的直角三角形.

“做一做”问题（2）中，正方形C的面积可用割或补的方法求得.

方式2：借助动画演示或数学软件.

任务2：验证勾股定理.要求能用准确的语言描述自己的验证过程.

方式1：阅读教材第4，5页，完成第5页“做一做”.

方式2：用四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼一个边长为c的正方形，用所拼图形验证.

方式3：借助网页.

任务3：结合图形，用文字语言和几何语言表述勾股定理的内容.

温馨提示：分析定理的条件、结论，明确直角三角形的直角边、斜边.完成后可以打开链接比较.

自主建构：

在本节课的学习过程中，有哪些收获？用思维导图，或知识树，或图表的形式，完成学习报告.内容包括学生的自学收获，还没有解决的问题，计划给学生展示的问题等.展示过程中，要讲明用到的数学思想方法等.

根据学习导航，首先让学生明确学习目标，让自主学习有的放矢，并对学习步骤和时间安排做建议或要求.

任务安排方面，对于任务1“探索直角三角形三边关系”中，学生最直接的想法应该是画直角三角形、测量三边、计算三边的平方、发现它们之间的关系（即教材第2页中的“做一做（1）”）. 考虑到学生任意画的直角三角形，由于测量的误差，斜边可能为无理数（学生现在还不认识无理数，测量时一定取近似数）造成的误差，导致不能发现其本质关系，因此先引导学生画直角边为3，4或5，12的直角三角形，从而避免误差，并发现三边平方的数量关系，之后再由学生自己任意画几个直角三角形验证时，学生就可以接受近似相等的结果，并知道导致这种结果的原因是误差而非其他因素.

为减少学生对“做一做（1）”的疑虑，用问题“边的平方用图形怎样构造？”引导学生完成“做一做（2）”：在方格纸中探索以直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，对刚才粗略的猜想进行几何直观的验证.

对于这种方式有些学生在计算边长为斜边c的正方形的面积时会有困难，因此教师可以给出一些提示. 即使如此，也还有学生不能用这种方式探索出结论，因此提供方式2，即借助动画演示或数学软件探索，通过这样最直观的方式快速、有效地得到与“做一做（2）”同样的结论.

通过以上方式探索得到勾股定理，并引发学生的思考：对于任意直角三角形，三边之间的这种关系是否一定成立？有没有其他的方式验证勾股定理？鉴于此，将教材整合，将第二课时的验证勾股定理部分的内容也纳入本节课的范围之内，作为任务2.

任务2中，同样设计了多种验证方式. 方式1是阅读教材，延续“做一做（2）”中对图形的处理方法进行验证，教材第5页的“做一做”以问题串的形式给出了引导；方式2根据探究条件选用纸片或三角尺或ppt图片进行拼图验证.在方式1的基础上，部分学生应该可以顺利拼出图形，并,表示边长为c的正方形的面积，且省去分别以直角边a，b为边长的正方形，图形显得更简洁，更体现勾股定理的本质；此外还可以发挥双平台的作用，利用网络资源，直接观看、欣赏、认同不同层次、不同数量、不同类型的验证方法.经历过观察、实验、猜想、验证的过程，学生对勾股定理的认识才比较完整.

认识之后就要应用，要应用就要能够用准确的几何语言表述，即任务3. 认识到数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值. 在这里学生可能存在的问题是，将文字语言转化为几何语言的过程中，似乎只需要以直角三角形作条件，三边关系作为结论，因此学生几乎没有意识要在条件中指明哪个角是直角.因此，给出规范表达的链接供学生比较，这时部分学生应该已经发现自己表达中的不足之处，从而思考原因，引起重视，但仍会有些反思能力不足的学生可能并没有对此产生关注，还需要在展示课中共同分析、强化.

(4)自主探究效果呈现的方式有哪些？

任务探究后，让学生对照目标进行自主建构，对自己的探究过程进行整理、反思，并为展示做一定准备.通过思维导图，或知识树，或图表的形式，完成个人学习报告.

2.合作学习

自我建构完成后，用五分钟时间在“合作组”交流，讨论总结出共性的问题，利用双平台环境，通过极域发送给教师，并对全体学生可见，这样其他组就可针对问题准备展示.展示环节开始前，恢复“展示组”后，先给学生五分钟时间对个人问题进行讨论，尽量解决，“合作组”的问题在展示环节解决.

3.展示交流