杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

杨辉三角的规律（杨辉三角的规律公式）

我们先看一下杨辉三角形的打印结果：

杨辉三角形有很多性质：

1).每行端点与结尾的数为1.

2).每个数等于它上方两数之和。

3).每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

4).第n行的数字有n项。

5).前n行共[(1+n)n]/2个数。

6).第n行的m个数可表示为C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

7).第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。

8).每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

9).(a+b)^n^的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

10).将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

11).将第n行的数字分别乘以10^（m-1）^，其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^（n-1）^。11^0^=1，

11^1^=1*10^0^+1*10^1^=11，

11^2^=1×10^0^+2x10^1^^+1x10^2^=121，

11^3^=1x10^0^+3×10^1^+3x10^2^+1x10^3^=1331，

11^4^=1x10^0^+4x10^1^10^2^+4x10^3+1x10^4=14641，

11^5^=1x10^0^+5x10^1^+10x10^2^+10x10^3^+5x10^4^+1×10^5^=161051。

12).第n行数字的和为2^（n-1）^。1=2^（1-1）^，1+1=2^（2-1）^，1+2+1=2^（3-1）^，1+3+3+1=2^（4-1）^，1+4+6+4+1=2^（5-1）^，1+5+10+10+5+1=2^（6-1）^。

13).斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。

14).将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。

实现杨辉三角形的打印也有很多方式，今天我为大家介绍两种方式：

根据上面的性质，如果我们要打印一个11行的杨辉三角形，我们可以将整个排列看做是一个n行，0-n列的矩阵，再结合上面的性质8，我们将这个矩阵用一个二维数组来实现，如下图：

2.2.1根据示意图，我们先定义一个二维数组：

2.2.2生成二维数组，根据杨辉三角形性质，n行的数字个数为n：

2.2.3填充二维数组：

2.2.4完整代码：

数组的方式比较好理解，但需要创建二维数组，效率较低，接下来我们看一下不需要数组的写法。

根据性质6，第n行的m个数可表示为C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

我们将其表示为C(i,j)的组合数，那么就有以下算法：

根据上述算法，我们就可以很方便的写出以下代码：