第一章勾股定理第一章勾股定理 1 1．探索勾股定理 （一） ．探索勾股定理 （一） 一、教材分析 一、教材分析（一）教材的地位和作用（一）教材的地位和作用这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书，北师大版八年级这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书，北师大版八年级 第一章第一节 《探索勾股定理》第一课时。在本节课以前，学生学习 第一章第一节 《探索勾股定理》第一课时。在本节课以前，学生学习 了 （三角形、正方形、梯形）一些图形的面积公式，还学习了三角形 了 （三角形、正方形、梯形）一些图形的面积公式，还学习了三角形 全等的判定和性质、直角三角形的有关性质以及整式运算中的完全平 全等的判定和性质、直角三角形的有关性质以及整式运算中的完全平22 22b 22ab+b2b2ab+b 方公式 （a＋ ）＋。学生在这些原有的认知水平基础上， 方公式 （a＋ ） =a ＋。学生在这些原有的认知水平基础上，=a 探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾 探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾 股定理的国家之一，这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关 股定理的国家之一，这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关 系，为以后学习 《解直角三角形》和 《二次根式》奠定基础，在有关 系，为以后学习 《解直角三角形》和 《二次根式》奠定基础，在有关 的物理计算中也离不开 《勾股定理》，它在生活中的用途很大。

的物理计算中也离不开 《勾股定理》，它在生活中的用途很大。（二）、学生起点分析（二）、学生起点分析八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．且八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．且(( 他们勤于思考、乐于探究。 根据以上教材地位和学生情况，再结合 他们勤于思考、乐于探究。 根据以上教材地位和学生情况，再结合)  《课程标准》的要求，我制定如下教学 目标)  《课程标准》的要求，我制定如下教学 目标 三、教学 目标分析 三、教学 目标分析（二）、教学 目标（二）、教学 目标11、知识与技能目标、知识与技能目标用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映 的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单 的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单 的计算和实际运用 的计算和实际运用22、过程与方法 目标、过程与方法 目标““在探索勾股定理的过程中，让学生经历 观察——猜想——归纳在探索勾股定理的过程中，让学生经历 观察——猜想——归纳”” ——验证 的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想 ——验证 的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想 方法。

方法。33、情感态度与价值观 目标、情感态度与价值观 目标11（）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索（）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索 精神，增进学习数学的信心，感受数学之美。 精神，增进学习数学的信心，感受数学之美。22 （）利用远程教育资源介绍中国古代勾股方面的成就，体现数学的 （）利用远程教育资源介绍中国古代勾股方面的成就，体现数学的 文化价值。 文化价值。（三）、教学重点及难点 （根据 《课程标准》的要求，以及为学生（三）、教学重点及难点 （根据 《课程标准》的要求，以及为学生 在今后解决有关几何问题。因此，本节课的教学重点和难点是） 在今后解决有关几何问题。因此，本节课的教学重点和难点是） 【教学重点】勾股定理及勾股定理的证明与简单运用 【教学重点】勾股定理及勾股定理的证明与简单运用 【教学难点】用拼图求面积的方法证明勾股定理 【教学难点】用拼图求面积的方法证明勾股定理 【难点成因】在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包 【难点成因】在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包 括割补法）但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不 括割补法）但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不 够，因此形成了难点。

够，因此形成了难点。 【教具】教师准备：课件 直角三角形【教具】教师准备：课件 直角三角形学生准备：四个全等的直角三角形学生准备：四个全等的直角三角形二、教学方法及教学手段的选择二、教学方法及教学手段的选择针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课我选择的方法针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课我选择的方法 是：（其意图是由浅到深，由特殊到一般的 是：引导探索、讨论发现法（其意图是由浅到深，由特殊到一般的引导探索、讨论发现法 提出问题 与学生合作交流，这种教学理念紧随新课改理念）。 ,, 提出问题 与学生合作交流，这种教学理念紧随新课改理念）。三、学法指导三、学法指导教师有组织、有 目的、有针对性的引导学生并一同参与到学习教师有组织、有 目的、有针对性的引导学生并一同参与到学习 活动中，鼓励学生采用自主探索与合作交流相结合 （其意图是让学生 活动中，鼓励学生采用自主探索与合作交流相结合 （其意图是让学生 真正成为学习的主人）。 真正成为学习的主人）。四、教学过程设计四、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，探索新知；本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，探索新知； 第二环节：猜测结论，获取新知；第三环节：归纳验证，完善新知； 第二环节：猜测结论，获取新知；第三环节：归纳验证，完善新知； 第四环节：解决问题，应用新知；第五环节：课堂小结，巩固新知．第 第四环节：解决问题，应用新知；第五环节：课堂小结，巩固新知．第 六环节：布置作业，拓展新知 六环节：布置作业，拓展新知（一）：创设情境，引入新课（一）：创设情境，引入新课先让学生阅读教科书第一页的引言。

我再讲个小故事 我国著名,,先让学生阅读教科书第一页的引言。我再讲个小故事 我国著名 数学家华罗庚教授在 《数学的用场与发展》一文中假设我们宇宙航船 数学家华罗庚教授在 《数学的用场与发展》一文中假设我们宇宙航船 到另一个星球上，为什么带 “数”和 “数形关系”两个图形？ （意图 到另一个星球上，为什么带 “数”和 “数形关系”两个图形？ （意图 是激发学生的探究欲望，让学生感到 “有趣”、“有意思”的状态下进 是激发学生的探究欲望，让学生感到 “有趣”、“有意思”的状态下进“”“”“”“” 入学习过程）。数学家曾建议用 勾股定理 的图来作为与 外星人 联 入学习过程）。数学家曾建议用 勾股定理 的图来作为与 外星人 联3 4 5 5 12 133 4 5 5 12 13 系的信号，从而产生了勾股数 （、 、 ）（、 、 ）引入新课 （展 系的信号，从而产生了勾股数 （、 、 ）（、 、 ）引入新课 （展 示课件，并作简单的介绍）让学生听说 “勾”与 “ 股”（展示课件）， 示课件，并作简单的介绍）让学生听说 “勾”与 “ 股”（展示课件）， （意图：形象的说明勾与股，强调：勾与股互相垂直；几何图形中勾、 （意图：形象的说明勾与股，强调：勾与股互相垂直；几何图形中勾、.  股只适合在直角三角形中，顺便引出弦）.  股只适合在直角三角形中，顺便引出弦）（二）：猜测结论，获取新知（二）：猜测结论，获取新知11、特殊图形 （等腰直角三角形）、特殊图形 （等腰直角三角形）首先我在网格中建立等腰直角三角形，以小三角形的面积为单位首先我在网格中建立等腰直角三角形，以小三角形的面积为单位S SS S、 、，并引导学生猜测结论。

1S 、 、，并引导学生猜测结论。 1，学生直接看出 S ，学生直接看出 AB C A B C 通过观察，归纳发现： 通过观察，归纳发现：1  结论 1  以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 结论以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积。 等于以斜边为边长的正方形的面积。 意图：这一环节通过图片展示，以直观形象的观察图形，引导学生找 意图：这一环节通过图片展示，以直观形象的观察图形，引导学生找 到三个正方形面积之间的关系，为下一步用面积计算、验证直角三角 到三个正方形面积之间的关系，为下一步用面积计算、验证直角三角 形三边关系奠定基础。 形三边关系奠定基础。22、一般图形 （直角三角形）、一般图形 （直角三角形）11（）、验证结论通过刚才的问题我们发现等腰直角三角形三（）、验证结论通过刚才的问题我们发现等腰直角三角形三 个正方形面积之间的关系，那么这一结论在一般的直角三角形中是否 个正方形面积之间的关系，那么这一结论在一般的直角三角形中是否 也存在呢？ 也存在呢？11 （）观察下面两幅图： （）观察下面两幅图：CCCCAAAABBBB图二图二图一图一＋ 的值＋ 的值的面积的面积的面积的面积的面积的面积AA SABCS SABCSBB4 9 13 13 图一4 9 13 13 图一16 9 25 25 图二16 9 25 25 图二C两图都是勾与股不相等的直角三角形，需要割正方形 C 才能得两图都是勾与股不相等的直角三角形，需要割正方形才能得S S SS SS S SS S 到、 、 ，再填表推猜测三者之间存在的关系：＋得出 到、 、 ，再填表推猜测三者之间存在的关系：＋ =S 得出A B CA B=SCA B CA B C 结论 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于 结论 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于11以斜边为边长的正方形的面积以斜边为边长的正方形的面积 【设计意图】为了突破用面积法证明直角三角形三边关系这一难点， 【设计意图】为了突破用面积法证明直角三角形三边关系这一难点， 本人先让学生小组合作，互相交流，再引导学生用 “割”与 “补” 本人先让学生小组合作，互相交流，再引导学生用 “割”与 “补” 的方法计算以斜边为边长的正方形的面积，进而得到直角三角形以三 的方法计算以斜边为边长的正方形的面积，进而得到直角三角形以三 边为边的正方形面积之间的关系。

由特殊 （的等腰直角三角形）到一 边为边的正方形面积之间的关系。由特殊 （的等腰直角三角形）到一 般直角三角形的三边关系进行探索，使直角三角形数与形的关系展示 般直角三角形的三边关系进行探索，使直角三角形数与形的关系展示 得更为直观，更易被学生接受，更有利于难点的突破，为学生归纳结 得更为直观，更易被学生接受，更有利于难点的突破，为学生归纳结 论打下基础，使学生分析和解决问题的能力得到提高，符合学生的认 论打下基础，使学生分析和解决问题的能力得到提高，符合学生的认 知规律。教材编写时也注重了培养学生的动手操作能力和观察分析问 知规律。教材编写时也注重了培养学生的动手操作能力和观察分析问 题的能力。 题的能力。22（）、转换结论通过三个正方形的面积关系，你能说明直角（）、转换结论通过三个正方形的面积关系，你能说明直角 三角形三边之间的关系论吗？ （提出设想，让学生讨论） 三角形三边之间的关系论吗？ （提出设想，让学生讨论）CC由正方形的面积公式得：由正方形的面积公式得：222S =a2 S =b2S =c2S =aS =bS =cABC ABC cA acA aS＋SS ＋ =SS=SA B CbA B CbBBa bca bc 结论 如果直角三角形两直角边长分别为 ， ，斜边长为 ， 结论 如果直角三角形两直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，222 2 2那么 22 2那么aa +b =c+b =c 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方..设计意图：先后三次验证 “勾股定理”这一结论，使学生从中体设计意图：先后三次验证 “勾股定理”这一结论，使学生从中体 会到数形结合和从特殊到一般的数学思想，这一过程也培养了学生严 会到数形结合和从特殊到一般的数学思想，这一过程也培养了学生严 谨、科学的学习态度 谨、科学的学习态度（三）归纳验证，完善新知（三）归纳验证，完善新知1111、验证命题小组合作探究：（）每小组拿出提前剪好的四个直角、验证命题小组合作探究：（）每小组拿出提前剪好的四个直角 三角形进行拼图，用所拼的图形观察后画出几何图形进行证明 （我的 三角形进行拼图，用所拼的图形观察后画出几何图形进行证明 （我的 证明暂且不用赵爽弦图，因为中间小正方形的边长有点困难，利用赵 证明暂且不用赵爽弦图，因为中间小正方形的边长有点困难，利用赵 爽弦图证明勾股定理的方法留在课后学生做，让他们体验我国汉代赵 爽弦图证明勾股定理的方法留在课后学生做，让他们体验我国汉代赵22 爽的证法。

）（）由教师提供美国第二十任总统伽菲尔德证明勾股定 爽的证法。）（）由教师提供美国第二十任总统伽菲尔德证明勾股定 理的图形，学生通过合作探讨证明勾股定理 理的图形，学生通过合作探讨证明勾股定理意图：是让学生感受数学中的一题多解，以激发学生的学习兴趣。意图：是让学生感受数学中的一题多解，以激发学生的学习兴趣。 并且这一过程有利于培养学生严谨、科学的学习态度。 并且这一过程有利于培养学生严谨、科学的学习态度。【数学史话】夏禹治水与勾股定理【数学史话】夏禹治水与勾股定理设计意图：通过介绍勾股定理的有关研究历史，感受数学文化，设计意图：通过介绍勾股定理的有关研究历史，感受数学文化， 体会到祖国数学历史的悠久，增强民族自豪感。 体会到祖国数学历史的悠久，增强民族自豪感。（四）解决问题，应用新知（四）解决问题，应用新知11、基础训练、基础训练11 （）、求下图中？所代表的正方形的面积 （）、求下图中？所代表的正方形的面积2x2x （）、求出下图中直角三角形中未知边的长度 （）、求出下图中直角三角形中未知边的长度1001001717x225x225??151522、现实运用、现实运用10如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 10 米处折断倒如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面米处折断倒24. 24.  下，树顶落在离树根米处 大树在折断之前高多少米？ 下，树顶落在离树根米处 大树在折断之前高多少米？1 2 设计意图：1 2 设计意图：训练作业 （）（）、是为了巩固基础知识而设计；作训练作业 （）（）、是为了巩固基础知识而设计；作2 业 2 是为了扩展学生的知识面；通过此题可让学生进一步认识勾 业是为了扩展学生的知识面；通过此题可让学生进一步认识勾际问题转化为数学问题，再运用勾股定理 股定理的前提条件．将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理 股定理的前提条件．将实 解决问题，体会勾股定理在实际生活中的运用，进一步培养了学生的 解决问题，体会勾股定理在实际生活中的运用，进一步培养了学生的 数学建模。

数学建模。（五）课堂小结，巩固新知（五）课堂小结，巩固新知11、师生小结：今天我们学习了、师生小结：今天我们学习了 数学知识：勾股定理和勾股定理的简单计算 数学知识：勾股定理和勾股定理的简单计算 经历过程：观察 猜想 探索 归纳 验证经历过程：观察 猜想 探索 归纳 验证数学思想：特殊到一般，数形结合 数学思想：特殊到一般，数形结合22、告诉你同年级其他班的同学，今天我们所学的内容、告诉你同年级其他班的同学，今天我们所学的内容 设计意图：以告诉你同年级其他班的同学形式，让学生积极回顾所学 设计意图：以告诉你同年级其他班的同学形式，让学生积极回顾所学 的数学知识。 的数学知识。（六）布置作业，拓展新知（六）布置作业，拓展新知11、用赵爽弦图证明勾股定理，整理在作业本上。、用赵爽弦图证明勾股定理，整理在作业本上。262、阅读教材 6 页 《勾股世界》、阅读教材页 《勾股世界》33、查找资料，找寻勾股定理的发展史。、查找资料，找寻勾股定理的发展史。 【设计意图】这个作业活动是开放的，它不仅为每个学生搭建了进一 【设计意图】这个作业活动是开放的，它不仅为每个学生搭建了进一 步探索和思考数学活动的平台，而且给了他们施展自我才能的舞台。

步探索和思考数学活动的平台，而且给了他们施展自我才能的舞台。 在这个数学活动中，学生是完全自由的学习个体，是学习真正的主人， 在这个数学活动中，学生是完全自由的学习个体，是学习真正的主人， 只要我们相信他们、尊重他们、激励他们，他们的创新潜能就能被充 只要我们相信他们、尊重他们、激励他们，他们的创新潜能就能被充 分开发，而这种学习、思考和创新的能力将使他们终身受益。 分开发，而这种学习、思考和创新的能力将使他们终身受益。板书设计：板书设计：探索勾股定理证明一：四个全等的直 探索勾股定理1证明一：四个全等的直1练习练习角三角形如图拼成边长为角三角形如图拼成边长为bb1（a＋ ）的大正方形，中间 结论 1：以直角三角形（a＋ ）的大正方形，中间 结论：以直角三角形c是边长为 c 的正方形，则： 两直角边为边长的小正是边长为的正方形，则： 两直角边为边长的小正1 方形的面积的和，等于1 方形的面积的和，等于2222ab＋c4× ab＋c(a+b) =4×(a+b) = 以斜边为边长的正方形 以斜边为边长的正方形22222 的面积222的面积a +2ab+b =2ab +ca +2ab+b =2ab +c2 2 22 2 2＋b c＋b caa证明二：只用两个全等证明二：只用两个全等的直角三角形如图放置，构的直角三角形如图放置，构a ba b2成了以 、 为上、下底， 结论 2：如果直角三角成了以 、 为上、下底， 结论：如果直角三角bb以（a＋ ）为高的直角梯形， 形两直角边长分别为以（a＋ ）为高的直角梯形， 形两直角边长分别为cc中间是以 为直角边的等腰 a bc中间是以 为直角边的等腰 a bc ， ，斜边长为 ， ， ，斜边长为 ，2 2 22 2 21 那么1 那么 aa+b =c+b =c直角三角形。

则：（a＋b）直角三角形。则：（a＋b） 即直角三角形两直角边 即直角三角形两直角边2211 的平方和等于斜边的平11 的平方和等于斜边的平22（a＋b） 2×c ，（a＋b） 2× ac ，ab＋b＋ 方 方22222 2 22 2 2化简得： ＋b c化简得： ＋b caa::意图 结构新颖井然，对所授新课要点一 目了然意图 结构新颖井然，对所授新课要点一 目了然 六、教学设计反思 六、教学设计反思11（）设计理念（）设计理念依据 “学生是学习的主体”这一理念．教师只在学生遇到困难依据 “学生是学习的主体”这一理念．教师只在学生遇到困难.  时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.  时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点22（）突出重点、突破难点的策略（）突出重点、突破难点的策略本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从 探究等腰直角三角形这一特殊情形入手到探究一般直角三角形，学生 探究等腰直角三角形这一特殊情形入手到探究一般直角三角形，学生 通过观察图形，割补面积的方法分析数据，发现直角三角形三边的关 通过观察图形，割补面积的方法分析数据，发现直角三角形三边的关 系，进而得到勾股定理． 系，进而得到勾股定理．33（）分层教学 基础训练和现实运用（）分层教学 基础训练和现实运用44（）评价方式（）评价方式根据新课标的评价理念，在本课主要从以下几个方面对学生学习根据新课标的评价理念，在本课主要从以下几个方面对学生学习 情况进行评价： 情况进行评价： 第一，对学生合作交流、积极探究等学习情况进行评价． 第一，对学生合作交流、积极探究等学习情况进行评价． 第二，通过练习，可有效地评价学生理解和掌握知识的情况． 第二，通过练习，可有效地评价学生理解和掌握知识的情况．“”“” 第三，在 课堂小结 这一环节中，教师可从学生的自由发言和交流中， 第三，在 课堂小结 这一环节中，教师可从学生的自由发言和交流中， 了解到各个教学 目标的达成情况． 了解到各个教学 目标的达成情况． 第四，通过课后作业的完成情况，进一步了解学生对勾股定理的理解 第四，通过课后作业的完成情况，进一步了解学生对勾股定理的理解 和掌握的程度． 和掌握的程度．教师根据这些评价结果做出相应的反馈和调节，调整、设计下教师根据这些评价结果做出相应的反馈和调节，调整、设计下 节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果。 节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果。