(大连教育学院116021)圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一,在科学研究以及生产、生活中有广泛的应pollonius而最先“发现”圆锥曲线的则是古希腊的另一位数学家门奈赫莫斯关于门奈赫莫斯的生平,人们所知甚少,世纪活跃于雅典和基齐库斯(Cyzicus,位于马尔马拉海南岸的半岛上,Eudoxus,约公元前400—约前347)的学生,与柏拉图Plato)友善,可能就是柏拉图学派的学者Λ他曾为柏拉图的著作《共和国》写过注释,还写过其他著作,例如关于他发现的圆锥曲线的著作,的一些情况及他的数学成果散见于后来人们的一些著作或著作的注释中Λ门奈赫莫斯是通过用垂直于母线的平面去截直角、钝角、锐角圆锥面,得到圆锥曲线的Λ体作法如下Λ一般地说,古希腊人是用旋转直角三角形(以一个直角边为轴)来产生圆锥面的,作为转轴的直角边称为圆锥的轴,斜边叫做圆锥母线Ζ过轴的平面与圆锥面相交所成的三角形叫做轴三角形,它正好由用以产生圆锥面的(旋转的)角三角形在相差180的两个位置上构成Ζ轴三角形的顶角是直角(用以产生圆锥面的原三角形的锐角为45)的圆锥叫做“直角圆锥”,相应的,角圆锥”Ζ据后人的阐释,门奈赫莫斯是这样截出圆锥曲线的Ζ为直角,现用平面AMQ去截圆锥面,平面垂直判定定理,当然也垂直于VBC平面Ζ与圆锥面的交线APQ中画出一半)称为“直角圆锥截线”即抛物对此可证明如下:截平面AMQ与轴三角形交于AMAMQ均垂直于VBC,垂直VBC,从而N希尔伯特现在问:是否能为相应的体积问题给出一个类似的解法,即能否把一个多面体分成多个的小块并拚成另一个给定的同体积的多面他猜想不可能有解Ζ问题提出几年之后,Dehn,18781952)证明了果真是不可能的Λ他给出了两个体积相等的四面体,它们不可能通过分割拚成另一个Λ最近获得解决的问题把我们带回到我在报告的开头所提到的问题Λ我们说过,希尔伯特关于不变量系有限的证明只涉及了变换群中最重要的那些Λ希尔伯特进一步猜想说,可能还存在着一个更为抽象的证明方法,应用这个方法,有可能对任意变换群证得其不变量系的有限性Λ这个问题使数学家们久攻不下,虽然在这期间对许多别的群,特别是所谓的经典群,也证出了其不变量系的有限性Λ经过多位美国数学家的准备工作,终于在几年前,日本数学家永田雅宜agata)成功地给出了一个变换群,它的不变量系是无限的Λ个结果同时表明了,希尔伯特原来给出的证明方法不是偶然的,它指明了切合问题本质的途径Λ我们作为今天的数学家正是在希尔伯特走过的路上亦步亦趋地前进着,他的思想继续活在我们中间,他的工作方法对于我们是光辉的楷模,们每个人都深知,他的名字永远不会被遗忘ΛFAAG=AG为常数,记为b,上式可曲线上任一点的纵坐标的平方等于横坐标乘上一个常数PQ为抛物线Ζ如果轴三角形的顶角V是钝角,仍然用垂直于母线的平面去截圆锥面,就可得到双曲线Ζ双曲线的一支,而且可截出等轴双曲线Ζ作法如为直角圆锥的轴三角形,用平行于轴VM的平面QA去截圆锥面,截线是QA证明如下:在截线上任取一点P作平面垂直于轴VM与圆锥面的交线是以D平面,故交线N平面,从而N(ME-MNME=MVVO=OA为点的坐标,则这是一个等轴双曲线Ζ门奈赫莫斯在用平面去截直角、钝角圆锥得出抛物线和双曲线后,再用垂直于母线的平面去截锐角圆锥,就得出椭圆Ζ那么,是什么因素促使门奈赫莫斯用平面截圆锥得出圆锥曲线呢?这是研究古希腊三大作图问题之一的倍立方问题的需要Ζ所谓倍立方问题就是求作一个立方困难之处在于要求使用标准的“尺规作图”(后来人们证明了倍立方问题不可能用标准的“尺规作图”解为克服困难,人们采用了许多其他方法,锥曲线法Ζ首先,按古希腊另一学者希波克拉底Chios,公元前5世纪)的研究,倍立方问题可以归结为求线段a、b之间的两个等2a,则有如果a是已知立方体的一棱,门奈赫莫斯这样作图:以OY为正焦弦作一抛物线;再以OXOXOY)为正焦弦作一抛物线;其交点即所求之等比中项(见图3)线及其应用一提出,立即受到数学界的重视,刚一问作了深入的研究,并写出著作,欧几里得(Euclid)、阿基米等大师又进一步加以研究,最后由阿波罗尼奥斯集其大成Λ在后世,圆锥曲线也一直是一项专门的数学研究课题Λ现代则列入中学课成为数学教育的基础内容之一Λ参考文献GreekgeometryromThalesEuclid,rnoPress,1976,pp。153-179。门奈赫莫斯Λ世界著名科学家传记数学家Λ北京:科学出版社,1992,85-92Λ