代数学是数学重要的分支, 从义务教育开始, 学生就要学习「代数」, 一边设未知数, 一边思考为什么这世界上有那么多人喜欢把鸡和兔子放在同一个笼子里。有趣的是, 不同的群体对于代数是什么有着截然不同的看法。中学生觉得代数就是解 , 大学生觉得代数就是群环域, 而数学家则通常没办法很简洁地告诉你答案, 因为数学家知道的太多了。本文中笔者尝试从历史演进出发, 聊聊不同时代代数一词代表的意义, 最后简单介绍近世代数中重要的子领域—— 表示论(representation theory)。

在十九世纪之前,代数学涵盖的范围都只是寻找四次以下的多项式方程式的解。虽然从西元前一千七百年的巴比伦人们就开始算代数,会解二次多项式了,代数成为一门学问要始于阿拉伯世界的骄傲——数学家花拉子米(al-Khwārizmī)。花拉子米在824年写了本专书《移项与消去之计算总成》( al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa al-muqabala ),其中移项al-jabr一词的拉丁翻译algebra就是代数一词的起源。

上古时期的代数,就是移项。

到了文艺复兴时期, 数学社群有公开挑战的风气, 两个数学家会为了名誉互相向对方提出问题决斗, 也就是比谁能解方程式解得又快又好。1535 年, 意大利数学家塔塔利亚(Tartaglia) 和费尔(Fior) 展开了一场著名的决斗, 他们互相出了三十题三次方程式给对方解。费尔手中握有他的老师德费罗(del Ferro)亲传的秘方, 可以找出形如 的方程式解；但是塔塔利亚除了费尔所知的形式以外, 也同时能解决形如 的方程式。最后塔塔利亚在比赛开始的两小时就把费尔出给他的三十题尽数解出, 以30 比0 痛宰了半桶水的费尔。

这个结果震惊了意大利数学界,当时人们因为缺少负数与复数的概念,普遍相信三次方程式是不可解的。在米兰任教的卡当(Cardan)便是如此,他苦苦恳求塔塔利亚传授解法,甚至提议要介绍米兰大官给塔塔利亚,让他或许能得到更好的工作。塔塔利亚最后要卡当发誓不把解法外传,才勉强将解法用隐晦的诗句写给卡当。不久以后,卡当从德费罗的另一个弟子口中也学到了德费罗派的解法。卡当和自己的弟子法拉利(Ferrari)将三次的解法推广发展出四次方程式的解法,发表在他1545年的书《大术》 ( Artis magnae )中。卡当觉得自己并不是发表塔塔利亚的工作,因此没有违背当初的誓言。塔塔利亚对此怒不可抑,书信往来咒骂抨击数年,最后在1548年约定了与法拉利的决斗。当天群众聚集在米兰的一个教堂,下从贩夫走卒上至米兰市长都来看热闹。只是和前一次决斗不同的是,塔塔利亚虽然掌握了三次方程,但是对于四次方程却力有未逮,在决斗第一天的晚上趁夜遁逃,让法拉利取得这场决斗的胜利。

文艺复兴时的代数,就是决斗。❞

到了1770 年, 意裔法籍数学家拉格朗日(Lagrange) 对四次以下的方程式旧有解法做了突破性的分析: 要解一个 次方程式 , 可以从一个辅助的方程式 开始, 的根对应到 的 个根的置换(permutation), 也就是说 为一个 次多项式。

例：当 的时候, 总共有 个置换：123,132,213,231,312,321。

拉格朗日证明了如果辅助方程式能解, 则原方程式可解。在 次数为3 的情况下, 刚好是个 的二次多项式。换句话说, 是个伪装成 次多项式的2 次多项式；在 次数为4 的情况下, 刚好是个伪装成 次多项式的3 次多项式, 因此我们似乎总能将方程式降次解决。但是在 次数为5 的情况下, 成了一个伪装成 次多项式的24 次多项式, 次数不减反增。拉格朗日因此猜测五次以上的方程式不保证可解, 最后这个定理由挪威数学家阿贝尔(Abel) 于1824 年证明。

Abel

顺带一提, 诺贝尔奖的数学版本就叫做阿贝尔奖, 由挪威政府出资逐年颁发, 和只针对40 岁以下的费尔兹奖(Fields Medal) 不同, 阿贝尔奖没有年龄限制。1831 年, 法国数学家伽罗瓦(Galois) 奠基在拉格朗日和阿贝尔的工作之上, 给出了方程式可解的充要条件, 用现代的语言来说, 判断方程式是否可解等价于了解置换群(permutation group) 的内在结构。可惜的是, 伽罗瓦为了爱情死于真刀真枪的决斗之中, 要是伽罗瓦能用代数决斗就好了。

Galois

十九世纪初期的代数,就是根的置换。

至十九世纪后半, 代数的发展开始发散。1870 年, 挪威数学家李(Lie) 和普鲁士数学家克莱恩(Klein) 同时到巴黎访问, 做了两个月的邻居与同事。擅长代数的克莱恩喜欢研究特例；擅长分析的李喜欢思考最一般的情况。合作到一半, 普法战争爆发, 克莱恩不得不返回普鲁士, 而李过一阵子计划避难到意大利, 却在枫丹白露被当作普鲁士间谍逮捕, 李随身携带的数学手稿还被当作加密后的机密情报高规格对待。还好有熟识的法国数学家将李保出来, 不然数学的发展可能会被拖累数十年。1871 年, 李和克莱恩发表了变换群(transformation group)的概念来研究物体在空间中的运动与几何, 可以涵盖连续或离散的情况。两人的研究兴趣之后往不同的方向分歧：克莱恩关心离散变形, 发展了置换群以外的有限群论；李关心连续变形, 把方程式与置换群之间的连结推广, 建立一类特殊的无限群来处理偏微分方程式, 这类无限群现在称为李群(Lie group)。

李群理论的一个重点是, 与其研究李群本身, 不如研究李群所诱生的崭新结构, 李将这个新结构称为「无穷小群」, 在现今的语言中称作李代数(Lie algebra) 。约略来说, 李代数是个带有额外操作的向量空间, 里面的向量可以相加、 可以延长、 但是不能相乘。李代数自带的额外操作叫做李括号(Lie bracket), 可以用来产生新的向量, 例如说我们可以将向量 和 透过李括号包起来产生一个新的向量, 记做 。一般来说李括号必须满足包含贾可比(Jacobi)恒等式在内的一些条件, 但是如果我们设定让所有的 都等于零, 所有须检查的条件都会成立, 也就形成最简单的李代数—— 阿贝尔李代数。一般来说 当然可以是非零向量, 这样定义出来的李代数复杂的多, 分类并刻划李代数便成为数学家关心的问题。复数上的有限维李代数分类问题由法国数学家加当(Cartan)与德国数学家齐林(Killing)在1888-1894 完成。而无限维李代数的分类要到1967 年才由俄国数学家卡兹(Kac) 和加拿大数学家穆迪(Moody) 分别独立完成。

另一方面, 人们从巴比伦时代开始, 解二次多项式的时候就遇见复数了。超过千年的无视也没有办法抹灭一个数学概念, 甚之, 无人看管的火苗只会越烧越旺。1843 年爱尔兰数学家汉米尔顿(Hamilton) 将复数系看成所有形如 的「数」, 其中 和 必须是实数, 1 和 是两个需要描述特殊乘法规则(即 , , ) 的「生成元」。汉米尔顿立刻就想到他可以将复数再推广—— 增加需要定义特殊乘法规则的生成元个数, 来定义比复数还复杂的数系。汉米尔顿成功的定义了四元数(quaternion), 当中所有的「数」形如 , 其中 是实数、 是生成元。他的同事葛雷夫(Graves)在听到消息的隔天就仿造四元数订出了八元数(octonion)。这样配合现有的数系定出额外乘法规则来定义的结构, 很快地被发现出现在其他数学领域中。比方说所有的n 阶矩阵组成的集合, 当中每个元素可以视为基础矩阵 的线性组合, 而额外的乘法规则就是 , (若 )此类结构, 由于通常是从复数扩张而成, 称为超复杂数系(hypercomplex number system)。

1870 年, 美国数学家皮尔斯(Peirce) 首次定义了结合代数(associative algebra), 简称代数。大略来说, 一个代数中的元素也是向量, 每个向量除了可以延长、 可以叠加以外, 还可以「相乘」。这里的乘法也要额外指定系数来描述乘法规则, 只是规则的限制和李代数不同。皮尔斯在他超过一百页的文章中描述了150 种不同的六维以下代数结构, 也创造了如幂零(nilpotent)或是幂等(idempotent)此类至今仍然被广泛使用的数学概念。到了1908 年, 苏格兰数学家韦德本(Wedderburn)在他的博士论文中对于超复杂数系建立了通用的一般性理论, 包含理想(ideal)、 半单(semisimple)、 直积(direct sum)、张量积(tensor product), 时至今日, 许多概念仍然在大学代数课程中被广泛使用。

十九世纪后半开始,代数成为一种数学结构的名字、而代数学就是研究结构。

表示依赖于不同的代数结构上, 我们可以对不同的代数结构研究表示论。比方说群表示论和李代数的表示论就是不同但是有关联的研究主题。打个比方, 表示论之于代数结构就像动物行为学之于野生动物。我们有时透过解剖不能完全地了解动物, 但是从观察动物的行为可以增进我们对它的了解, 甚至有时候, 了解行为要比了解动物本身更有意义。

表示论的前身是特征标(character)理论, 最一开始要追溯到德国数学家高斯(Gauss)在数论方面的工作, 我们盯着交换群看, 看不出太多有意思的结果, 但是这种群的特征标却能用来解答数论上的问题——什么样的整数 能表示成下面的整系数二次形式？ 对于每个二次形式 , 高斯定义了它的行列式值 , 并证明了所有行列式值相同的二次形式会形成一个有限交换群 。而 的特征标就是某些函数 , 满足 .从此可看出本例中交换群的特征标/表示理论不是拿来理解交换群的结构的。后来高斯的学生——德国数学家戴德金(Dedekind)继承了这个研究发想, 戴德金定义了非交换群上的群行列式(group determinant), 却因为缺少对超复杂数系的理解而未能完成工作。戴德金于是写信给普鲁士科学院士福比尼(Frobenius) 请益。福比尼使用英国数学家凯莱(Cayley)在十九世纪中关于群代数(group algebra)的工作, 将超复杂数系的性质代入群行列式的研究, 于1897 年催生了群表示理论。

回到超复杂数系理论, 韦德本的工作被奥地利数学家阿丁(Artin) 和德国数学家诺特(Noether) 推广到某些拥有上升或下降链条件的环上。诺特认为群表示理论和超复杂数系有紧密的关联, 应该被一起对待, 成为有限维代数表示的滥觞。诺特在1928 年于哥廷根大学的授课讲义成为了所有近世代数课本的雏型。她对于代数结构独到的观点和工作让她连续两次成为国际数学家大会受邀讲者, 也因此被誉为代数之母。

诺特

哥廷根学派对于结合代数表示理论的研究方法可以应用到李代数上。一言以蔽之, 李代数表示理论的核心问题是要找出并刻划所有的不可约表示。就像科学家建立元素周期表并且研究每一种化学元素的性质一样。表示论的世界就是由不可约表示构筑而成, 要理解世界必定要先理解元素。1925 年, 嘉当在完成半单李代数分类的同时, 也透过嘉当分解以完成半单李代数有限维不可约表示的分类。嘉当和德国数学家外尔(Weyl)讨论之后才发现, 其实这些不可约表示都可以透过俄国数学家舒尔(Schur) 1901 年博士论文中证明的舒尔对偶性(Schur duality)所实现。外尔也受到启发, 建立了外尔特征标公式来刻画不可约表示。

从有限跨到无限, 在数学上一向是个艰难的挑战。理解(有限维)半单李代数的无限维不可约表示是二十世纪数学的超级大难题。最先理出头绪的是印度数学家威玛(Verma), 威玛在他1966 年的博士论文中构造了一类性质特别好的无限维表示, 现在我们称为威玛模。只要我们能够知道每个威玛模当中哪些不可约表示会出现, 并计算它们出现多少次(相当于群论中的约旦- 赫德(Jordan-Hölder)重数), 我们就能完整解决半单李代数的不可约表示问题。

到了1980 年左右, 这个纯代数的问题有了一个石破天惊的解答, 苏联/以色列数学家卡日丹(Kazhdan)和罗马尼亚数学家卢斯帝(Lusztig) 指出了这个不可约表示出现的次数等于一类特殊的多项式 代入 的值。这类多项式现在称为KL 多项式, 可以由岩堀- 赫克代数(Iwahori-Hecke algebra)上的基底转换得到。而这项理论的证明堪称二十世纪的数学奇迹, 需要结合众多当代数学家在代数几何、 代数分析上深刻的结果。这个证明的精神, 就是将纯代数的问题用几何物件实现并解构算重数, 是为二十一世纪火红的数学, 几何表示论(geometric representation theory)、 范畴化(categorification)和瑟格双模(Soergel bimodule)的起点。

在二十世纪,代数就是见山不是山。

时至二十一世纪, 受前人启发的研究往相距甚远的不同方向绽放。如果我们回顾李代数发展的根源, 从理论物理中引入超对称(supersymmetry) 可以定义出又一种新的代数结构, 称为李超代数(Lie superalgebra)。李超代数的分类在1977 年由卡兹完成, 但是李超代数的表示理论至今尚未完全解决。其中一类李超代数在2013 年被卡兹的学生——中央研究院程舜仁、 维吉尼亚大学的王伟强还有他们在成功大学的合作伙伴林牛攻破；另一类李超代数的表示理论则由王伟强和他的学生——新加坡大学的鲍涣辰解决。除此之外, 数学社群仅有部分成果。

又, 前述提到的表示理论都是复数系上的表示理论, 若我们将复数域替换成其他特征 的域, 那么表示理论也会因此改变而更加困难, 就连半单李代数的特征 表示理论至今也没有完全被解决。更不用说前述代数结构可以量子化, 定出量子群(quantum group)、 量子超群(quantum supergroup), 来给出杨振宁- 巴克斯特(Baxter)等式的解。而量子群以及类似结构的表示理论也是二十一世纪数学家关心的难题。

最后, 如果我们追溯回伽罗瓦理论, 代数数论中的伽罗瓦群也能和代数群(algebraic group) 的自守表示(automorphic form) 关联, 是为朗兰兹纲领(Langlands program)。郎兰兹纲领被视为代数数论的最终问题, 吸引了众多数学家的目光与兴趣。越南数学家吴宝珠(Ngô Bảo Châu) 就靠着证明了朗兰兹纲领中的基本引理而获颁2010 的费尔兹奖。

吴宝珠

不时有人问笔者：「数学不是已经发展得差不多了吗？那你们数学家到底还在做什么？」我只能说：

二十一世纪代数未知的新问题仍然不可胜数,我们数学家的奋斗永不止息。

参考文献

本文转自：《数学传播》44卷4期。图片来源于网络，为编者所加。为对应大陆通用的术语，将原文中的“表现”理论修订为“表示”理论，特此说明。