贝特朗悖论

今天，贝特朗悖论，我们就来聊聊概率中的随机变量以及其中的概率论悖论。

贝特朗悖论（贝特朗悖论对概率论的意义）

撰文|张天蓉（美国德州大学奥斯汀分校理论物理博士）

责编|吕浩然

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概率论专栏：

上帝教人掷骰子——“神童”帕斯卡与概率论

虽然概率的定义不难懂，似乎人人都能理解，但你可能不知道，概率计算的结果经常违背我们的直觉。概率论中有许多难以解释、似是而非的悖论，从中人们得到的结论是：不能完全相信直觉！

人类的大脑有它的误区和盲点，就像开汽车的驾驶员视觉中有“盲点”一样，需要几面反光镜来帮助克服。我们的思维过程中也有盲点，需要计算和思考来帮助澄清。概率论是一个经常出现与直觉相悖的奇怪结论的领域，贝特朗悖论，连数学家也是稍有不慎便会错得一塌糊涂。现在，贝特朗悖论，我们就来看看经典概率中的几个著名悖论和谬误。

贝特朗悖论对概率论的意义

本文来自公众号：超级数学建模微信号：supermodeling除了与几何概型有关的贝特朗悖论，贝特朗于1889年还提出了另一个贝特朗盒子悖论，这个悖论有一个著名的现代版本，实际上不算是“悖论”，因为它没有逻辑矛盾。

但它是一个与博弈论相关的有趣的数学游戏。

首先写在这儿让诸位娱乐一下。

三门问题

这个问题有好几个等效版本，最早一版的日期可追溯到19世纪的贝特朗。

该问题在数学本质上也等同于马丁·加德纳1959年提出的“三囚犯问题”【1】。

不过这些老版本长时间都默默无闻，只是到了100多年之后的1990年左右，却热门了一阵子，在公众中引起热烈的讨论。

其原因要归功于美国一个著名的，从上世纪80年代一直延续至今的电视游戏节目Let'sMakeaDeal。

样本空间的贝特朗悖论

上文介绍了几个概率中的悖论，其中提到了一个与几何概型有关的贝特朗悖论。概率论中的悖论很多，基于经验的直觉判断很多时候往往并不靠谱。今天这篇将介绍的本福特定律，也是一条初看起来有些奇怪、不合直觉的定律，不过这条定律用处却很大，甚至还能帮助侦破“财务造假”。

撰文|张天蓉

责编|吕浩然

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本福特定律

弗兰克·本福特（FrankBenford,1883–1948）本是一个美国电气工程师，却在中年时迷上了一个与概率有关的课题，课题得到的结论便是现在我们所说的“本福特定律”。该定律大致意思是说，在众多真实数据中，以“1”为首位数字的数出现的概率约占总数的三成，贝特朗悖论，接近期望值1/9的3倍。