如果有人问你“如何证明1+1=2？”

你可能会说：“这需要证明吗？这能证明吗？”

加法的定义（加法的定义概念）

这问题就要从什么是数学证明说起了。首先要知道数学并不是科学。科学的根本特征就是科学可被证明或被证伪。然而数学体系的建立总是基于一些无法证明的定义、公理，首先承认这些基石的正确，才建立起数学的大厦，数学体系基于“真实”的公理发展而来，由逻辑演绎保证了它的正确性。数学问题的证明也只有从定义、公理出发才能进行。

“1+1=2”和数学运算系统的构建有关。

数学的运算系统是从自然数开始的，这就要先定义什么是自然数。自然数的朴素定义是“表示自然界物体个数的数”，但这种说法太粗糙，缺乏代数上的严密性。然而我们要知道人类“发明”数学的过程中，总是先朴素的使用一数学概念，很久以后才严密地定义这一数学概念，比如对“长度”、“面积”、“体积”的严格定义要上升到度量空间和测度论才能说清楚。在朴素的观点下我们无法回答为什么无数个没有长度的点能构成有长度的线段。但是人类古老时候就开始计算面积、体积了。当一个人说：“面积是指平面图形占据平面‘空间’的多少”时，一个学了测度论的人是不应该嘲笑他的，因为这只是严谨性不同罢了(毕竟这也是人类最初对面积的理解)。

对自然数的公理化严密定义直到19世纪末才首次提出，1889年皮亚诺发表名著《算术原理新方法》，书中给出了举世闻名的皮亚诺公理(自然数公理)，定义了自然数集合，其内容是：

(1)0是自然数；

(2)每个自然数a有唯一的自然数为其后继数，即对每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a,a也是自然数,a的后继数a就是紧接在这个数后面的整数(a+1)；

(3)设有两个相异的自然数有一个后继数，即若两个自然数的后继数相等，则此两自然数也相等，也即a=b=>a=b(这条公理也被称为相等定义)；

(4)0不是任何自然数的后继数，即0≠a；

(5)如果0具有性质P，且任何具有性质P的自然数的后继数也具有性质P，则一切自然数都有性质P(这条公理也被称为归纳公理)；

现在我们说，满足公理(1)(2)(3)(4)(5)的集合N就是自然数集，可以知道自然数是无穷无尽的。不过要论述“1+1=2”我们还要定义“1”和“2”，不过这就很简单了。现在N中的自然数我们可以写成：0、0、0、0……写起来有点麻烦是吧，如果用这种记法来表示中国的人口数那简直是灾难。我们引入符号“1”来表示0，“2”来表示0，相应的还可以引入“3”到“9”。那么0怎么表示呢，如果一直不停的引入新的符号来表示下一个数，那创造多少符号也不够用啊。这就需要引入进制了，比如我们最常用的十进制。在十进制下，我们可以这样简单的表示：

0=11（话说会有人数一下吗）

我们现在可以来定义加法了：

加法定义：a、b是自然数，a+b’=(a+b)’，a+0=a。

现在我们可以来证明1+1=2了：

1+1=1+0=(1+0)=1=2

当然还可以证明“1+2=3”：

因为2=1=1+1，所以1+2=1+1=(1+1)=2’=3

更进一步，在加法的基础上我们还可以定义乘法：

乘法定义：任一自然数a与1相乘及与自然数（b+1）相乘的结果分别为：

a×1=a，a×(b+1)=a×b+a

我们接着定义加法与乘法的运算规则：加法的结合律、交换律，乘法的结合律、交换律，以及加乘的分配律，这5个运算定律分别表示为：

a+(b+c)=(a+b)+c

a+b=b+a

(ab)c=a(bc)

ab=ba

a(b+c)=ab+ac

虽然皮亚诺公理提出后描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身始终被延用，根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，再通过引入减法便可以得到整数系，再引入除法得到有理数系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系。这一套公理化实数体系连同同时期的魏尔斯特拉斯、柯西等在微积分分析化过程中的贡献（如极限定义中的ε-δ语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上(所以他们也被称为给牛顿补漏洞的人)。

上述1+1=2的证明本质上是运算系统下的约定，是定义自然数和加法后的自然结果。设想一远古人在摆石子玩，“这有一个石子，旁边还有一个石子”，这时旁边一人说：“这样说太麻烦了，我们就叫这有两个石子”。所以1+1=2没有那么复杂，上述繁琐的定义只是基于公理化体系的严密地说法。

数学的发展就是这样，由简到繁，并逐渐丰富，由逻辑构建的“形式世界”，其复杂度已远远超出它当初映射的现实模型(见数学是人类的“发明”还是“发现”?)。

然而数学终究是要走进“形式世界”，终究是要走向严密的，而且这是没有尽头的，因为根据哥德尔不完备定理数学公理应该有无限个，也就是数学世界是无穷的。所以我们也不用担心数学被研究完了，而后人没东西可研究，数学的发展将伴随整个人类文明！