最近重新开始学习数学，对数学的发展历史产生了困惑，于是借助网络收集了这篇文章。我们熟知的微积分开始于17世纪，经过后续两百年的不断发展，最终形成了现在教程中的模样。在这里分享一本这个话题下很棒的书：“古今数学思想”。

以下是整理得出的正文：

在文艺复兴期间，数学的发展和会计学的发展是相辅相成的。虽然代数和记账之间并没有直接的联系，这门学科的教材和书籍也往往是为了给商人的孩子在reckoning学校或者abacus学校学习商业和贸易的实用技能而准备的。确实，如果只是记账的话大概是不需要代数的。但是，对于更复杂的交易，或者复息利率的计算，就必须掌握算术，而代数知识也就十分有用了。

皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡（约1415-1492）著有关于立体几何与透视法的作品，包括De Prospectiva Pingendi (On Perspective for Painting)，Trattato d’Abaco (Abacus Treatise)，和 De corporibus regularibus (Regular Solids)。卢卡·帕西奥利所著的《算术、几何、比例总论》在1494年于威尼斯首次印刷出版，其中包括了一篇27页的记账论文《计算和记录的细节》。这主要是编写和出售给商人将其作为参考书，给有兴趣的人作为娱乐破解其中数学谜题，以及教育他的儿子。在《Summa Arithmetica》中，帕西奥利首次在印刷书籍中引入了加号和减号，随后成为了意大利文艺复兴时期数学界的标准符号。《Summa Arithmetica》也是已知的第一本在意大利印刷的代数书。不过，帕西奥利的不少思想是剽窃自皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡的。

16世纪

在16世纪上半叶的意大利，希皮奥内·德尔·费罗和尼科洛·塔尔塔利亚发现了三次方程的解法。吉罗拉莫·卡尔达诺在1545年发表的著作《Ars Magna》中，同时还记录了四次方程的一种解法，这是由他的学生洛多维科·费拉里发现的。在1572年，拉斐尔·邦贝利出版了他的著作《代数学》，这本书中，他解释了如何处理应用卡尔达诺公式解三次方程时可能会出现的虚数。西蒙·斯蒂文的《De Thiende》于1585年在荷兰首次发表，首次系统性讲解了十进制的处理方法，对随后所有关于实数系统的工作都有影响。

因为导航和大面积精确地图的需求驱动，三角几何学成长为数学的一个重大分支。Bartholomaeus Pitiscus首次使用了该词语，在1595年出版了《三角几何学》。Regiomontanus的正弦和余弦函数表则在1533年出版。

在文艺复兴期间，艺术家真实地表现自然世界的需求，与对希腊哲学的重新发现，引领着艺术家研究数学。艺术家们同时还是当时的工程师和建筑师，因此自然无论如何都要用到数学。绘画透视法的研究和相关的几何学发展是紧密相连的 。

可见，到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。

17 世纪

17 世纪的欧洲涌现出了史无前例的数学和科学思潮。伽利略将一个从荷兰进口的玩具加以改进，制造了一部望远镜，用它观测到了环绕木星轨道运动的卫星。第谷·布 拉赫则收集了天空中行星位置的巨量观测数据，而作为第谷的助理，约翰内斯·开普勒首次接触和认真研究了关于行星运动的主题。由于对数已经被当时的约翰·纳 皮尔和约斯特·比尔吉发明出来，因此使开普勒的计算工作变得简单了。开普勒成功的建立了行星运动的数学法则。同时，勒内·笛卡尔发展出了解析几何，因此行星的轨道就可以依照笛卡尔坐标系画出图像了。

在众多前人工作的基础之上，艾萨克·牛顿发现的物理定律解释了开普勒定律，牛顿汇集的许多数学概念就是今天的微积分。戈特弗里德·莱布尼茨，可以说是17世 纪最重要的数学家，也独立地的发展出了微积分，他发明的很多微积分符号至今仍在使用着。科学和数学研究变成了一项国际活动，随后将很快遍及全球。

除了研究天空的应用数学以外，应用数学伴随着皮埃尔·德·费马和布莱兹·帕斯卡的工作而开拓了新的领域。帕斯卡和费马奠定了概率论研究的基根，并对赌博游戏 进行讨论而发展了相应的组合数学。帕斯卡还利用他最新研究出来的概率论提出了帕斯卡赌注。帕斯卡试图表明，皈依宗教的理由在于，尽管成功的概率很低，但得到的奖赏却是无限的。某种程度上，这预示了18到19世纪发展的功利主义的出现。

18世纪

18 世纪最具有影响力的数学家无疑是莱昂哈德·欧拉。他的贡献范围特别广泛，从因七桥问题创立图论，到标准化大量数学术语和符号都包括在内。比如说，他将负1 的平方根称为i，还推广了使用希腊字母 pi 来表述圆周率。他对拓扑学、图论、微积分、组合数学和复分析都做出了贡献，以此为证，众多的数学定理和记号都是以他的名字命名的。

其他18世纪重要的欧洲数学家，包括约瑟夫·拉格朗日，他在数论、代数、微积分和变分法方面做出了开拓性的贡献。拉普拉斯则在拿破仑时代做了举足轻重的工作，建立了天体力学和统计学的基础。

现代数学，随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。

19世纪

卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪期间，数学的抽象程度显著增加了。卡尔·弗里德里希·高斯是这股浪潮的缩影。姑且不谈他对科学的贡献，他在复变函数、几何学和收敛级数上做出了革命性的工作。它也是给出代数基本定理和二次互反律令人满意的证明的第一人。

在这个世纪，发展出两种形式的非欧几里得几何，欧几里得的平行公设在这种几何中就不再成立了。俄罗斯数学家尼古拉·罗巴切夫斯基和他的竞争对手匈牙利数学家鲍耶·亚诺什，都独自的定义并研究了双曲几何。在双曲几何中，过一点可做的平行线不再是唯一了，而三角形的内角和小于180度。椭圆几何随后在19世纪由 德国数学家波恩哈德·黎曼建立，在椭圆几何中，平行线一条也不能做了，而三角形的内角和大于180度。黎曼也将这三种几何学加以一般化并统一，发展出了黎 曼几何。黎曼定义了“流形”的概念，从而将曲线和平面的概念推广了。

19世纪出现了抽象代数的伟大思想，德国的赫尔曼·格拉斯曼想出了最 早的向量空间。爱尔兰的威廉·哈密顿则发展出了不遵循交换律的代数学。英国数学家乔治·布尔构想出了一种新的代数学，随后演化为了我们今天的布尔代数。布尔代数中只有0和1两种数值，是数理逻辑学的起点，并且在计算机科学中拥有众多重要应用。

奥古斯丁·路易·柯西、黎曼和卡尔·魏尔斯特拉斯则以在数学上更加严谨的形式重新表述了微积分。同时，数学的局限性也第一次被发现了。挪威人尼尔斯·阿贝尔和法国人埃瓦里斯特·伽罗瓦证明了高于四次的多项式方程不存在通行的代数解法，也就是阿贝尔-鲁菲尼定理。其它19世纪的数学家应用了这个定理，从而证明了仅靠尺规作图将三等分任意角、将一个立方体扩大两倍，或者构造一个和正方形面积相等的圆，都是 不可能的。而自古希腊以来数学家就在尝试解决这三个难题了。在另一方面，几何学仅有三维的局限性，因参数空间和超复数的提出而被克服了。

阿贝尔和伽罗瓦对多项式方程的解的研究，奠定了日后群论和抽象代数相关的发展基础。20世纪的物理学家和其他科学家发现群论是研究对称性的理想工具。

在19世纪晚期，格奥尔格·康托尔首次建立了集合论。集合论让人们可以严谨地表示极限的概念，并且随后成为了几乎所有数学家的通用语言。康托尔的集合论和数理逻辑在皮亚诺、鲁伊兹·布劳威尔、大卫·希尔伯特和伯特兰·罗素手中蒸蒸日上，也引发了关于数学基础的长时间争论。

在19世纪，大量的国家数学协会被建立起来，例如1865年伦敦数学协会、1872年法国数学协会、1884年意大利数学协会、1883年苏格兰数学协会，以及1888年的美国数学协会。而首个国际性的特别兴趣协会 —— 四元数协会 —— 在当时矢量等概念还存在争议的历史背景下，成立于1899年。

20世纪

20世纪，数学开始成为一门主修专业。每年，成百上千人成为新的数学博士，而且数学家既可以留在学术界，又可以加入工业界。Klein百科全书则承担起了汇总整个数学和数学应用领域的任务。

在 1900年国际数学家大会的演说中，大卫·希尔伯特列出了23个数学界的未解决问题。这些问题覆盖了许多不同的数学领域，随后成为了20世纪数学研究的中心。如今，10个问题已经解决，7个问题部分解决，而2个问题依然是开放的；还有4个问题由于太含糊，因此不能判断有没有解决。

此时，历史上有名的不少数学猜想也终获证明。1976年，沃夫冈·哈肯和凯尼斯·阿佩尔使用计算机证明了四色定理。安德鲁·怀尔斯在他人工作的基础上成功证明了费马大定理。保罗·寇恩和库尔特·哥德尔则证明了，连续性假设本身是独立于标准公理化集合论而存在的（也就是既不可能从中证明，也不可能从中反证）。在 1998年，托马斯·黑尔斯证明了开普勒猜想。

此时，数学家们合作的规模与领域已经是空前的了。例如在1955年到1983年完成的有限单群分类（即“宏伟定理”），其证明分散在由100多位作者发表的500多篇期刊论文中，完整的论文加起来共有10000多页；一组法国数学家，包括让· 迪厄多内和安德烈·韦伊，使用笔名尼古拉·布尔巴基写作，尝试以最极端的严谨和泛化来加以表述全部的已知数学，他们的成果则是几十卷著作，然而这在数学教育上留下了有争议的影响。

爱因斯坦在广义相对论中使用微分几何之后，微分几何也得到了一席之地；数学逻辑学、拓扑学，和冯·诺伊曼的博弈论等新的数学领域，则改变了通过数学方法可以回答的问题类型；所有的数学结构全部通过公理而抽象化为了诸如度量空间、拓扑空间等概念；而数学家所作的这些抽象化工作本身的抽象化则引领人们通向范畴 论；亚历山大·格罗滕迪克和让-皮埃尔·塞尔则将用层论重新铸造了代数几何；而庞加莱自1890年开始的动态系统理论的定性研究终于也有了很大进展；在19世纪和20世纪之间，测度论被发展出来。测度论 的应用包括了勒贝格积分，和安德雷·柯尔莫哥洛夫的公理化概率论，以及遍历论；纽结理论极大的扩展了；量子力学引领了泛函分析的发展；其它的新领域包括了 洛朗·施瓦茨和分布论、不动点理论和奇点理论；勒内·托姆的突变论、模型论，以及本华·曼德博的分形；李论以及李群和李代数成为了一个主要研究领域。

亚伯拉罕·鲁滨逊引入了非标准分析，通过将实数域扩展到了包括无穷大和无穷小量的超实数域，从而平反了微积分中一时名声狼藉随后被极限理论取代的无穷小量方法；而约翰·何顿·康威发现了一个和组合博弈论有关，甚至比超实数更大的数字系统：超现实数。

而随着计算机的发展和不断进步，从最初的机械模拟计算机到随后的电子数字计算机，让工业界可以处理越来越大量的数据，来帮助规划大规模生产、配给和通讯，新的数学领域也因此发展出来：艾伦·图灵的可计算性理论、计算复杂性理论；德里克·亨利·莱默使用ENIAC促进了数论发展，提出卢卡斯-莱 默检验法；克劳德·香农的信息论、信号处理、数据分析、最优化和其它运筹学的研究；在过去的世纪中，数学在很大程度上注重微积分和连续函数，但因为计算机 和通讯网络的崛起，使离散概念也越发重要，还导致了组合数学，包括图论的扩张发展；数据处理速度和能力的提升，也让人们可以去研究那些过去需要大量时间进 行纸笔计算的数学问题，引出了数值分析和符号计算。而20世纪最重要的数学方法和算法包括：单纯形法、快速傅立叶变换、错误校验码、源自控制论的卡尔曼滤 波，以及公钥密码学的RSA算法。

在统一时间，人们开始深入审视数学的极限。在1929年到1930年，数学家证明了，具有乘法或者加法其中之一的自然数系统之内的一切命题的真伪是可决定的，也就是可以通过某个算法自动计算出来。然而在1931年，库尔特·哥德尔发现，如果自然数同时包括 乘法和加法，那么这个结论就不再成立了；同时包括乘法和加法的系统就是人们所知的皮亚诺算术，而这事实上是一个不完备的系统（仅靠皮亚诺算术就足够支撑数论了，包括可以表述素数）。而哥德尔的两个不完备定理表明，一个包括了皮亚诺算术的任何数学系统（涵盖了数学分析和几何的一切），真理永远凌驾于证明之 上，即总会有在系统中不可能被证明的真命题。因此，数学本身不可能被规约为数学逻辑学，而大卫·希尔伯特企图将整个数学变得完备和一致的梦想也就此破灭而不得不改变了。

斯里尼瓦瑟·拉马努金是20世纪数学界最耀眼的身影之一，他是一位自学成才的印度数学家，猜想和证明了关于高合成数、整数分拆、渐进分析和仿θ函数的超过3000个定理，它也对伽马函数、模形式、发散级数、广义超几何函数和素数理论做了深入探索。

埃尔德什·保罗发表了有史以来最多的数学论文，并和上百名合作者一起工作。由于他的论文实在太多，以至于数学家提出了数学家版本的贝肯数：埃尔德什数，描述数学论文中一个作者与埃尔德什的“合作距离”的一种方式。埃米·诺特则被许多人认为是数学史上最重要的女性。她的研究包括环、域和域代数。

就像大部分研究领域一样，科学时代的信息爆炸导致了数学的专门化：在20世纪结丛时，有超过上百种数学的专门领域，而数学学科分类标准则长达几十页。越来越多的数学期刊开始出版，而到该世纪结丛，因互联网的发展，又有了在线出版。

21世纪 -- 现代数学

数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。依据Mikhail B. Sevryuk于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说，“存在于数学评论数据库中论文和书籍的数量自1940年(数学评论的创刊年份)现已超过了一百九十万份，而且每年还增加超过七万五千份的细目。此一学海的绝大部分为新的数学定理及其证明。”

美国的克雷数学研究所在2000年时提出七个数学难题，称为千禧年大奖难题，在2003年时俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼对庞加莱猜想的证明有决定性的贡献，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但佩雷尔曼并未现身领奖，也不接受奖金，成为首位拒绝接受菲尔兹奖的数学家。

二十一世纪时大部分的数学期刊除了印刷版外也会有网络的版本，而且有许多新的数学期刊只有网络版本，期刊开放获取的趋势更加明显，arXiv是期刊开放获取的一个重要网站。

数学的未来

数学的许多发展趋势是可以观察到的，最明显的趋势就是这门学科变得越来越庞大，计算机变得越来越重要和强大，而数学在生物信息学上的应用领域日发扩大，而通过计算机分析的工业界和科学界数据则爆炸性增长。