什么是圆锥曲线？广义上，圆锥曲线可以看成smooth quadratic projective plane curve，而这种曲线是挺无趣的，因为圆锥曲线是genus 0的曲线，算术上来讲genus 0的曲线太简单因为有无限多个rational points(所以有无限多个integral points)，所以finiteness problems就没意义了，因为我们知道有无限多个rational points，而找到这些rational points就是个algorithmic的过程，所以Langlands program根本就不care这类曲线，高考题也用不上，我虽然没参加过高考，但是我想高考圆锥曲线的题目是不可能有算rational points的。几何上来讲，如果是在algebraically closed field上，所有这些genus 0曲线都可以看成 \mathbb{P}^1 (证明也挺简单，不过没学过代数几何看不懂，我就不写在这里了，证明看Rising sea的proposition 19.3.1；即使是定义在非代数闭和的field上，所有的degree 1 points依然可以看成 \mathbb{P}^1 )，而 \mathbb{P}^1 在几何上也挺无趣的，该研究的早研究透了；但是你可以用代数几何的语言来算一些东西，比如算某一点的tangent line，你可以算 (\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2)^{*} (这里*的意思是dual space)，即点p的Zariski tangent space，然后再平移到p的位置，就能得到点p的tangent line，和你用slope算的结果是吻合的，但是我不建议你高考题里用这种方法，因为很多高中数学老师是应用数学出身，没学过代数几何，你很难在一道题的范围内解释清楚为什么你用Zariski tangent space算出来的tangent line和用slope算出来的tangent line等价（当然我也不认为你能在一道题的范围内解释清楚为什么 (\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2) 是个vector space，是怎么来的）。Complex geometry这一块不用考虑，因为高中圆锥曲线是定义在 \mathbb{R}^2 上的。至于辛几何我不了解，就不多做评价了。