2009福建数学试题（文史类）第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，则等于A．BCD R2. 下列函数中，与函数 有相同定义域的是 ABCD3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别频数1213241516137则样本数据落在上的频率为A. 0.13B. 0.39C. 0.52D. 0.644. 若双曲线的离心率为2，则等于A. 2B.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC.D. 15. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是6. 阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A．-1B. 2C. 3D. 47. 已知锐角的面积为，，则角的大小为A. 75°B. 60°w.w.w.k.s.5.u.c.o.mB. 45?D.30?.s8. 定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在 上，下列函数中与的单调性不同的是A．B. C. D．9.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. -5B. 1C. 2D. 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m10. 设是平面内的两条不同直线；是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是A.B. C. D. 11.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是A.B.C.D. 12.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac ∣a∣=∣c∣,则∣b ? c∣的值一定等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．以a，b为邻边的平行四边形的面积B 以b，c为两边的三角形面积C．a，b为两边的三角形面积D 以b，c为邻边的平行四边形的面积第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

13. 复数的实部是。14. 点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m15. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是16. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．(本小题满分)2分）等比数列中，已知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（I）求数列的通项公式； （Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。18．（本小题满分12分）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 （I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。

19．（本小题满分12分）已知函数其中， （I）若求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。20．（本小题满分12分）如图，平行四边形中，，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）求三棱锥的侧面积。21．（本小题满分12分）已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （Ⅱ）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；22．（本小题满分14分）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。 （I）求椭圆的方程； （Ⅱ）求线段MN的长度的最小值； （Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分。

1．B2．A 3．C4．D5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．B 11．A 12．A二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。13．14．15．16．7三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想，满分12分。解：（I）设的公比为由已知得，解得 （Ⅱ）由（I）得，，则，设的公差为，则有解得从而所以数列的前项和18．本小题主要考查概率等基础知识，考查运算求解能力，应用数学知识分析和解决实际问题的能力满分12分。解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑） （Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3由（I）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为19．本小题主要考查诱导公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像与性质等基础知识，考察运算求解能力。

考查化归与转化思想、数形结合思想，满分12分解法一：（I）由得即又（Ⅱ）由（I）得，依题意，又故函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为是偶函数当且仅当即从而，最小正实数解法二：（I）同解法一（Ⅱ）由（I）得，依题意，又，故函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为是偶函数当且仅当对恒成立亦即对恒成立。即对恒成立。故从而，最小正实数20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与品面的位置关系等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。（I）证明：在中，又平面平面平面平面平面平面平面（Ⅱ）解：由（I）知从而在中，又平面平面平面平面，平面而平面综上，三棱锥的侧面积，21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分12分。解法一：（I）依题意，得由得（Ⅱ）由（I）得（故令，则或①当时，当变化时，与的变化情况如下表：+—+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（Ⅲ）当时，得由，得由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为所以函数在处取得极值。

故所以直线的方程为由得令易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点解法二：（I）同解法一（Ⅱ）同解法一。（Ⅲ）当时，得，由，得由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故所以直线的方程为由得解得所以线段与曲线有异于的公共点22．本小题主要考查直线、椭圆、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分14分解法一：（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又由得故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，此时的方程为要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或当由 由于故直线与椭圆C有两个不同的交点当由 由于与椭圆C没有交点综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使得的面积等于解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设设故当且仅当时等号成立即M,N的长度的最小值为(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当M,N取最小值时，此时BS的方程为设与直线BS平行的直线方程为由当直线与椭圆C有唯一公共点时，有解得当时，两平行直线BS：与：间的距离，当时，两平行直线BS：与：间的距离，故在BS边上的高椭圆C上存在两个不同的点T，使得的面积等于即线段MN的长度最小时，椭圆C上仅存在两个不同的点T，使得的面积等于 - 12 -