新高考背景下圆锥曲线的研究

新高考背景下圆锥曲线的研究

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【内容摘要】圆锥曲线是高考数学中的一块内容，掌握的好差对于高考数学分数的取得具

有至关重要的作用。在新高考背景下，本文运用文献资料法，统计法等对圆锥曲线进行了一

系列初步研究。本文最初从圆锥曲线概念入手，进行了简单论述，随之综合整理了圆锥曲线

包括椭圆，双曲线，抛物线在内的基本性质，并总结了2014-2015两年新高考下对圆锥曲线

考察的基本题型以及所运用的数学思想方法，丰富并积累了基本活动经验。

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【关键词】新高考；圆锥曲线；题型；数学思想；研究

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1圆锥曲线

1.1圆锥曲线的起源

早在2000多年前，古希腊数学家最先开始研究，其中，希腊数学家ApolloniJ是最有名的，

他用平面切削锥的方法，包括：用平面切割垂直轴锥，其结果是一个圆；把该平面逐渐倾斜，

结果得到的是椭圆；在一定程度上，也就是说，只有母线平行于圆锥体时，其结果是抛物线；

与轴线平行时，得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆，双曲线，抛物线分别叫“亏曲线

”，“超曲线”和“齐曲线”。事实上，阿波罗研究的纯几何的

方法，就已经涵盖了如今在高中数学圆锥曲线中的全部内容。

1.2圆锥曲线的发展

(1)11世纪，阿拉伯数学家开始研究。

(2)自12世纪起，进入了很长一段时间停滞期。

(3)16世纪起，德国有两大重要发现：发现了行星环绕太阳运行的轨迹是椭圆；初步得出

物体斜抛运动的轨道类似于抛物线。

(4)17世纪初，研究继续深入推进，接连研究了圆锥曲线中最基本也最重要的两个部分：

离心率和焦点，这为后续圆锥曲线概念的同一定义供给了逻辑依据。

（5）著作《圆锥曲线》悄然问世。全书将圆锥曲线的性质进行一一罗列，成为万世经典。

(6)书画界的射影几何也逐渐被用于圆锥曲线的研究。这一时期，法国的几位数学家得出了

一些特殊的定理，创立了解析几何，为圆锥曲线开辟天地奠定了新的基础，使有关圆锥曲线

的钻研方法取得了扩充，即得到圆锥曲线的有关方程的方式是经过创设坐标系，随后利用方

程的性质来对圆锥曲线进行探究，使圆锥曲线的定义等由直观过渡到抽象。

(7)在18世纪，在欧拉发表的《分析引论》工作中，将圆锥曲线的研究方法推广到极坐标

系的建立中，并能把直角坐标系和极坐标系进行相互的转换。

（8）继欧拉之后，三维解析几何包括许多重要的曲面，如抛物面等也开始蓬勃地发展起

来了，一步一步充实了圆锥曲线的内容。

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1.3圆锥曲线在生活中的应用

案例一椭圆在生活中的应用

与其他容器相比，圆柱形容器有其自身的特点。在正常情况下，它在相同体积下具有最

小的表面积，所用材料最少。当液体装入容器中时，其内的液体对内壁每个方向上的受力情

况都比较均衡，而在现实生活中，考虑各方面综合因素得条件下，包括车的允许高度和允许

宽度等，让容器被做成椭圆形的横截面时，既节省了罐体所用的材料，也保证了容积的大小，

同时保证了罐体在运输储存等过程中的稳定性。[1]

案例二双曲线在生活中的应用

冷却塔的设计原理是双曲线在生活中应用的最佳实例。其设计从底部开始，逐渐变小至

中部直径所在，该设计目的为的是能让蒸汽抽到塔内，同时防止底部蒸汽等逸出，而直径顺

次增大的上部分，它可以有效地降低顶部的热风流量，从而减少拉力，让蒸汽尽可能在塔内，

提高冷却塔的回收率。[1]

案例三探照灯截面体现抛物线的应用

汽车前照灯的原理是，光源在抛物面镜的交点处发出的光被反射，形成一组平行的光线，

使光线可以被投射到远的地方而不发散，有利于汽车在夜间行驶的安全性。抛物面为探照大

灯，手电筒内的反光镜面设计提供了依据。[2]

1.4圆锥曲线的新高考背景

《普通高中数学课程标准（实验）》说到：“高中数学课程是学生在接受了小学初中

的九年义务教育之后，在普通高级中学中学习的一门主要课程，其中包含的数学中最根本的

内容，对于学生今后大发展具有基础性的重要作用。”[3]

“新高考要求教师重视教材，将课改的基本理念与课程设计，内容以及实施有机结

合起来。”[3]即要求把圆锥曲线的历史与实际结合起来，把圆锥曲线的具体化与抽

象化结合起来，把圆锥曲线的求解与方程坐标等知识结合起来，在体会数形结合的过程中，

培养学生解决实际问题的能力。

高中数学课程要求教师更重视学生。以学生为中心，以学生的需求为根本出发点与落脚点，

时刻关注学生的学习状况。在圆锥曲线的学习中，确保每一个学生都能掌握基本曲线，基本

性质，基本解题思路，及时肯定学生的进步，矫正学生的错误，并能发挥引导者，组织者的

作用，利用小组间合作学习，促进学生共同提高。

新高考背景下，近些年各省高考数学中对于圆锥曲线的考查试题呈现稳中求新的态势。题

型中既包含对圆锥曲线基本性质，基本定义的考察，也包括圆锥曲线与代数，向量等范畴的

结合。题型对于数学方法的要求也呈现多样化的趋势，尤其是类比，归纳，猜想，推理等思

想方法，同时也考察了学生阅读，分析，解题的能力，符合高考选拔人才的特殊功能。

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2圆锥曲线的基本性质

2.1椭圆的基本性质

定义：平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长的点的集合（设

动点为，两个定点为和，则），定点,是椭圆的焦点；

或者平面内一动点到另一定点的距离与一动点到另一定直线的距离之比为小于1的正常

数，定直线叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率。用公式表示为

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



基本性质：

中心在原点，焦点在x轴

中心在原点，焦点在y轴

标准方程

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 焦半径曲线上任意一点到焦点的距离：

 焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离：

 焦点三角形椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形：

 准线

 通径过焦点并垂直于轴的弦：

 2.2 双曲线的基本性质

 定义：不同于椭圆的定于，双曲线为平面内一动点到两定点（焦点）的距离之间的差

值等于定长 的所有的点的集合（设动点为 ，两个定点为 和 ，则 ）定点是双曲线的焦点；

或者平面内一动点到另一定点与一动点到另一定直线的距离之比为大于1 的正常数 ，定直

线叫做双曲线的准线， 叫做双曲线的离心率。用公式表示为





 基本性质：

 中心在原点，焦点在x 轴中心在原点，焦点在y 轴标准方程

 焦半径曲线上任意一点到焦点的距离：

 焦准距圆锥曲线焦点与其准线之间的距离：

 焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形：

 准线

 通径过焦点并垂直于轴的弦：

 渐近线

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 2.3 抛物线的基本性质

 定义：平面内一个动点P 到一个定点 与一条定直线 的距离之比为1。定点 叫做抛物

线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线。常数 叫做双曲线的离心率，用公式表示为

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 基本性质：

 焦点在x 正半轴焦点在x 负半轴焦点在y 正半轴焦点在y 负半轴标准方程

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 焦半径

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 焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离：

 准线



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 通径

 3 高考中圆锥曲线的研究

 圆锥曲线在高考数学中占有较大分值。在近年的高考试题中，一般考查两个小题，和一个

大题。小题主要考查学生对圆锥曲线的定义，标准方程，性质的理解以及简单应用，而大题

则侧重考查利用相关数学思想和方法来研究几何问题。[4]笔者归纳了2014-2015 两年新高考

下对圆锥曲线考察的基本题型以及所运用的数学思想方法，并于下文中进行简单分析。

 3.1 2014-2015 新高考下圆锥曲线题型统计

  2014 年全国各地区题型汇总

 小题大题（综合问题）基本性质等轨迹方程型中点弦型定值最值范围型探究型其他全国卷

I11（椭圆）1（椭圆）全国卷II11（椭圆）北京卷11（椭圆）1（椭圆）山东卷11（抛物线）

江苏卷1（椭圆）浙江卷11（椭圆）福建卷11（双曲线）安徽卷1（椭圆）1（抛物线）天

津卷11（椭圆）湖南卷1（椭圆）1（椭圆）湖北卷1（椭圆）1 陕西卷1（椭圆）重庆卷11

（椭圆）四川卷1（抛物线）1（椭圆）广东卷11（椭圆）1 上海卷1（椭圆）

 2015 年全国各地区题型汇总

 小题大题（综合问题）基本性质等轨迹方程型中点弦型定值最值范围型探究型其他全国卷

I1（双曲线）1（抛物线）1 全国卷II11（椭圆）北京卷11（椭圆）1（椭圆）山东卷11（椭

圆）1（椭圆）江苏卷1（椭圆）1（双曲线）浙江卷12（椭圆，抛物线）福建卷11（椭圆）

1（椭圆）安徽卷11（椭圆）天津卷11（椭圆）1（椭圆）1（椭圆）湖南卷11（椭圆）1（椭

圆）1（椭圆）湖北卷 11（椭圆）1（椭圆）陕西卷 11（椭圆）重庆卷 11（椭圆）1（双曲

线）四川卷1（椭圆）1（双曲线）1（椭圆）广东卷11 上海卷11（椭圆）

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  分析

 在2014-2015 年全国高考题圆锥曲线题型汇总表中，我们不难发现，对于圆锥曲线的考查

稳中求新。小题中主要考查椭圆，双曲线，抛物线的定义等部分基本性质，三部分考查比率

如下图所示，基本图形以双曲线为主，着重考查其渐近线方程，离心率。在大题中，主要聚

焦于对轨迹方程的求解，对中心弦的求解，定值最值范围求解，以及探究性题目的求解，主

要包括存在性问题，应用性问题等的考查，基本图形以椭圆为主。

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 3.2 圆锥曲线大题题型分析

 据统计发现，大题主要有求轨迹方程，求中心弦，求定值最值范围以及综合探究（包括

存在问题，应用问题等）四大类型。能力要求高，探索性强。本文就四类题型进行分析，并

给出常见的应对策略。[5]

 3.2 .1 轨迹方程型

 要想解决圆锥曲线中的轨迹问题，首先要求学生准确理解轨迹概念，并且有效快速准确有

效地选择并建立适当的坐标系，然后运用部分求轨迹的方法（如直接法，代入法[6]等）进

行轨迹方程的求解；要注意一些隐藏的条件，譬如曲线上点的取值范围；解题时还应注意数

形结合，函数与方程等思想的应用。下面给出一道例题。

 例1 设动直线 与 轴相垂直，且与椭圆 交于 两点， 是 上满足 的点，求点 的轨迹方程。

 【解析】如图所示



 设 点的坐标为 ，则由方程

 得

 两点的坐标分别是

 又 ， ，

 即 ，

 又直线 与椭圆交于两点， ，

 点 的轨迹方程为

 【回顾】本题是一个通过运用直接法，从而求得轨迹方程的经典题目。何谓直接法？实际

上就是发现动点本身就涉及到一些等量关系，又或者我们在解题时发现题中有些几何条件简

单明了且易于表达，在这种情况下，建议同学将题中所含的关系直接翻译成含 的等式，便

可得到曲线的轨迹方程。此类题目解答过程简便，不需要什么特殊技巧，对学生的思维要求

较低，但便于考查学生的代数等运算能力，因此成为高考中大题中的第一第二问。

 3.2 .2 中心弦型

 关于涉及到圆锥曲线中存在弦的中点问题，我们有一个固定名字，称为中心弦问题。中心

弦问题在新高考数学中属于难度中等偏上类型的题目。它不仅要求学生能够运用数形结合的

思想绘制题目的简图，还要求学生有较高的代数功底，进行算式的化简运算。求解中心弦问

题，建议采用的一般方法是：读题，联立方程（直线与圆锥曲线），求解（利用根判别式，

根与系数关系，特定中点坐标公式以及参数法）。其中重点介绍“点差法”，是

新高考中经常运用的一种方法，即设交点坐标 ，代点入方程（圆锥曲线），作差，得式子（与

弦 中点和斜率有关）。该方法可以减少运算量，提高解题速度。[7]下面给出一道例题。

 例2 过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 平分，求这条弦所在的直线方程。

 【解析】设直线与椭圆的交点为 ，

 因为 为 的中点，所以 ，

 又 两点在椭圆上，

 则 ，