内蒙古师范大学硕士学位论文向量在中学数学问题解决中的应用研究姓名：****请学位级别：硕士专业：学科教学（数学）指导教师：**20110512ＶＶ。向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，它是中学数学知识的一个交汇点，是数学问题解决的重要工具。《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础，突出向量作为工具的作用。本文在阐述向量历史的基础上，对高中数学教科书中的向量内容进行分析，把向量作为数学工具来解决数学问题，列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例，并进行分类讨论。每部分内容如下：第１章，在绪论中提出问题产生的背景、选题的目的和意义、国内外研究现状、研究方法及创新之处。第２章，首先简要介绍了向量的发展史，其次对高中数学教科书中的向量内容的设定作出分析，并结合《普通高中数学课程标准》对高中向量部分的教学要求提出相应的教学策略。第３章，重点是把平面向量作为解题工具，对高中数学中较难解决的各类题型进行分类，并提出向量解题方法。主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。第４章，主要论述了用空间向量解决立体几何的益处、哪些立体几何问题可以用之解决以及应该采取的教学策略。

最后，提出教师要辩证地看待向量在数学问题解决中的价值所在，在了解向量作为数学问题解决的一种工具的同时，也不能无视其不适用之关键词：高中数学，向量，问题解决，教学策略内蒙古师范大学硕一Ｉ：专业学位论文ＡＢＳＴＲＡＣＴＶｅｃｔｏｒｈａｓｂｏｔｈＧｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｆｏｒｍａｎｄＡｌｇｅｂｒａｆｏｒｍ．Ｉｔｉｓａｊｏｉｎｔｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｋｎｏｗｌｅｄｇｅｉｎｔｈｅｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ，Ｉｔｉｓａｌｓｏａｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｏｌｉｎｓｏｌｖｉｎｇｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｏｒｄｉｎａｒｙｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｓｃｏｕｒｓｅｓｔａｎｄａｒｄ．Ｗｅｓｈｏｕｌｄｂａｓｅｏｎｉｔｓｔｅａｃｈｉｎｇｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ，ａｎｄｏｕｔｓｔａｎｄｖｅｃｔｏｒａｓａｔ００１．Ｂａｓｅｄｏｎｅｌａｂｏｒａｔｉｎｇｖｅｃｔｏｒｈｉｓｔｏｒｙ，Ｉａｎａｌｙｚｅｄｔｈｅｖｅｃｔｏｒｏｆｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｔｅｘｔｂｏｏｋ，Ｕｓｉｎｇｔｈｅｖｅｃｔｏｒｊｕｓｔａｓｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｏｏｌｓｔｏｓｏｌｖｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｐｒｏｂｌｅｍｓｔｅａｃｈｉｎｇ，ａｎｄｌｉｓｔｔｈｅｅｘａｍｐｌｅｓｔｈａｔｓｏｌｖｅｐｒｏｂｌｅｍｓｂｙｖｅｃｔｏｒｉｎｔｅａｃｈｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ，ａｎｄｈａｖｅａｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ．Ｃｏｎｔｅｎｔｓｏｆｅａｃｈｐａｒｔａｓｆｏｌｌｏｗｓ：Ｃｈａｐｔｅｒ１，Ｓｈｏｗｅｄｏｕｔｔｈｅｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｉｎｔｈｅｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ，ｔｈｅｐｕｒｐｏｓｅｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ，ｒｅｓｅａｒｃｈｓｉｔｕａｔｉｏｎ，ｒｅｓｅａｒｃｈｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｃｒｅａｔｉｖｅｐｏｉｎｔｓ．Ｃｈａｐｔｅｒ２，Ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｈｉｓｔｏｒｙ，ｔｏａｎａｌｙｓｉｓｔｈｅｓｅｔａｂｏｕｔｖｅｃｔｏｒｉｎｔｈｅｏｒｄｉｎａｒｙｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｔｅｘｔｂｏｏｋ，ａｎｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｃｏｕｒｓｅｓｔａｎｄａｒｄ，Ｉｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｔｏｔｈｅｐａｒｔｏｆｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｏｆｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｖｅｃｔｏｒ．Ｃｈａｐｔｅｒ３，ｔｈｅｋｅｙｉｓｔｏｐｕｔｐｌａｎｅｖｅｃｔｏｒａｓｓｏｌｖｉｎｇｔｏｏｌｓ，ｃｌａｓｓｉｆｙｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｐｒｏｂｌｅｍｓｔｏｓｏｌｖｅａｌｌｋｉｎｄｓｏｆｑｕｅｓｔｉｏｎｓ，ｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｔｈｅｓｏｌｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ．Ｍａｉｎｌｙａｂｏｕｔｖｅｃｔｏｒ’Ｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｐｌａｎｅｇｅｏｍｅｔｒｙ，ａｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｅｑｕａｌｉｔｙ内裂古帅犯人学坝ｔ：专业学位论义ｓｏｌｖｅｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｔｅａｃｈｉｎｇ．Ｃｈａｐｔｅｒ４，ｍａｉｎｌｙｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｂｅｎｅｆｉｔｓｕｓｉｎｇｔｈｅｓｐａｃｅｖｅｃｔｏｒｔｏｓｏｌｖｅｓｏｌｉｄｇｅｏｍｅｔｒｙ，ａｎｄｗｈｉｃｈｓｏｌｉｄｇｅｏｍｅｔｒｙｐｒｏｂｌｅｍｓｃａｎｕｓｅｔｈｉｓｓｅｔｔｌｅｍｅｎｔａｎｄｗｈａｔｔｅａｃｈｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｓｈｏｕｌｄｂｅｔａｋｅｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｔｅａｃｈｅｒｍｕｓｔｔｈｉｎｋｄｉａｌｅｃｔｉｃａｌｌｙａｂｏｕｔｔｈｅｗｏｒｔｈｉｎｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｖｅｃｔｏｒａｓａｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｉｎｇｔｏｏｌｓ，ｂｕｔａｌｓｏｃａｎｎｏｔｉｇｎｏｒｅｉｔｓｕｎａｐｐｌｉｃａｂｌｅｐｌａｃｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｖｅｃｔｏｒ，ｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｉｎｇｔｅａｃｈｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙ１１１第１章绪论第１章绪论１．１问题提出的背景向量是高中数学中有着代数和几何双重性质的重要内容。

向量是“数、量和运算’’形式不断发展的表现，也是高考必考的知识点。高中数学新增加的向量知识，有助于沟通几何与代数之间的联系，为解决中学数学中常见的问题，提供了新的思想和方法。运用向量工具可将几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算，使数学问题的解决更加简洁、清晰。现行高中数学教科书中向量的教学内容重在基础知识，对于向量的应用提的却相对较少。一方面，高中新教科书没有摆脱旧教科书的束缚，有很多数学问题用向量的方法解决更简单，但却没有利用向量工具来研究；另一方面，很多中学数学教师，头脑罩传统的解题方法已成为思维定势，不习惯或避免用向量来解决问题。尤其在解决一些立体几何问题时，需要较强的逻辑思维能力和较高的技巧性，把向量应用于立体几何问题解决会简便而顺畅。鉴于这两点，本文将重点探讨平面向量和空间向量在数学问题解决中的应用。１．２选题的目的和意义目前，向量是高中数学中的基本概念之一，在代数、解析几何、平面几何等学科中各种理论都以向量为基础。现代物理关于向量的应用更为广泛，利用向量可以简化和解决许多思想和方法，达到快速解题的目的。向量知识可以解决初中平面几何中的大部分证明题，这些题如果用常规的方法去解决对于初中生来说会显得很难，但利用向量去解决就显得比较容易。

现行的人教版高中数学新教科书，分Ａ版和Ｂ版两种版本，Ａ版教材不讲空间向量，主要是通过演绎证明和逻辑推理建立几何体系。学生第一次接触空间问题，尚未建立一定的空间想象能力和实际动手能力。在实际问题的解答中常常要求学生有较强的空间想象能力和逻辑思维能力，学生做题时往往是束手无策解答不出来。而Ｂ版教材是 应用空间向量的方法处理几何问题，把几何图形的性质代数化，通过计算解决几何问 题，不需要太强的空间想象能力，符合高中学生的智力发展和认知水平。向量主要以 概念、公式、定理等的形式出现，教科书中体现向量的一般形式是进行相关运算，一 救教师普遍认为向量内容教起来简单，学生也容易学。在这一章节中的教学，大部分 内蒙古师范人学硕：ｌ：专业学位论文 教师采用“记公式，多练习”的教学形式，大都忽视了概念、公式、定理、法则的形 成过程，一般不重视课后的阅读材料、实习作业、研究性课题的教学。 通过对鄂尔多斯三中全校１３００多名学生的考卷进行调查，问卷主要从解答立体几 何问题时学生习惯用的方法——掌握向量知识的程度方面展开。调查之后发现：相对 传统的解决几何问题的方法，空间向量解决法更简易，由于学生高一已学过平面向量， 在此基础上稍加推广就能得到空间向量的运算体系。

学生感觉学习空间向量直观，并 不像几何知识那么抽象。解题时向量应用要比传统的解题方法先进，向量法主要通 过计算，不需要太强的空间想象能力，更容易被学生接受。在解题的思路上，学生 更愿意采用向量法，而且用向量法解题更准确迅速。总之，学生更愿意使用向量法， 这是因为对于一些立体几何问题，常常要求学生判断点、线、面的位置关系，进行角 与距离的计算，如果用传统的解法，需要从公理、公式、定理开始使用“形到形”的 演绎、归纳推理，会很繁琐，再加上有些空间图形的复杂性，解题的技巧性大，随机 性强，而计算又主要是构造三角形等，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解，需 要对图形进行平移、投影等各种转化，而且不同的问题需要不同的技巧，甚至需要大 量的辅助线，缺少统一的求解方法；而向量的方法则不同，向量具有几何形式和代数 形式的“双重身份”，其基本要求是能快捷地建立空间直角坐标系，求出相关的坐标， 或用向量中的定理、性质通过计算解决问题，且有一定的通法，使解题程序化，增加 了可操作性，使空间想象能力差点几的学生，也不会感到立体几何那么遥不可及了。 另外，利用向量解决问题是高考必考的知识点。回顾近几年的高考题，有关向量 内容的考察涉及的面广，其中纯粹向量知识的考题所占比例也不少，尤其用空间向量 来解决立体几何问题显得很重要，应在高中数学中重视向量应用教学，这样学生做起 题来就能够得心应手轻松自如。

近年来，高考命题体现了向量考查的三个层次。 第一层次：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能。要求学生 掌握平面向量的和、差、数乘和向量的数量积以及运算法则，理解其直观的几何意义， 并能正确地进行运算。 第二层次：考查向量的坐标表示，向量的线性运算。 第三层次：和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线，数列等基础知识结合， 考查逻辑推理运算能力等综合运用数学知识，解决问题的能力，应用数形结合的思想 方法，将几何知识和代数知识有机的地结合在一起，能为多角度的展开解题思路提供 广阔自谊间，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满完第１章绪论 成解答，则需要严密的逻辑推理和准确的计算。 综上所述，向量减少了学生学习论证、度量问题的难度，使高中数学中“数形结 合＂理论得到新的解析和提升，在为高中数学贯彻“数形结合＂的教学理念提供新的 思路。向量是数学解决问题中不可或缺的工具，应更进一步规范和加强高中数学中向 量应用的教与学。 １．３国内外研究现状 １．３．１国内研究现状 国内有关“向量”内容的研究论文很多，如： （１）西南大学基础数学硕士王宽明写的《高中学生运用平面向量解决问题的影响 因素分析》中提出了一些解决向量问题的方法及一些研究。

（２）华中师范大学硕士王志贤写的《对高中数学课程中空间向量教学的研究》中 结合新课程改革背景，亲身深入教学一线中，将研究聚焦于师生对待向量观点下的立 体几何课程的深入认识具有重要的意义。 （３）东北师范大学课程与教学论硕士赵宇写的《空间向量对立体几何教与学影响 的研究》论述了三个方面的内容：第一，在教学过程中，注重空间向量与其它学科的 联系，注意空间向量与平面向量的对比讲授，从而有效降低学生接受空间向量的难度， 降低教学难度。第二，在教学过程中，大量采用实物教学的方法，让学生接触更多的 实际物体，对于培养学生的空间想象能力十分有利。第三，在教学过程中，通过一题 多解，精心编制或选择立体几何例题、习题等方式平衡向量法和综合法在学生思想中 的地位。 （４）曹金明的《高中数学课程中向量教学研究》指出向量进入中学数学是很有必 要的。向量的引入是几何代数化的需要：是中学数学课程改革中数学课程内容改革的 具体体现；向量的引入体现了近现代数学与初等数学的衔接，也为学生以后学习高等 数学奠定基础；同时向量几何学是世界上主要国家高中数学课程的核心内容之一，这 恰恰是我国几何教学的一个弱点。 向量进入中学也是可行的，这是因为向量的引入符 合学生的认知规律：可以培养学生的思维能力；数学与物理学的紧密联系在向量中的 体现，有助于增强学生学习数学的兴趣；现代教育技术的飞速发展和快速普及为向量 的顺利教学提供了技术上的有力支持。 把向量引入中学数学是必要的、可行的。但是