１耔高ｇ数学历史幻农涉锾锾流淌——记圆锥曲线的历史与文化南京市第十三中学膏一、从古希腊缓缓走来传说中，在公元前４２９年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛（Ｄｅｌｏｓ），造成四分之一的人口死亡．岛民们推选出一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛的体积加大一倍同时又不能改变其形状．于是人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了原来的８倍，问题没有解决，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试着把体积改成原来的２倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求助于当时著名的学者柏拉图．开始，柏拉图和他的学生们认为这个问题很简单，他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的２倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的２倍，还会难吗？结果……此后，古希腊的希波克拉提斯为解决倍立方问题，把它化归为在口和２ｎ之间插入两一口ｙ，ｙ２—２盘ｚ，ｚｙ一２口２（由此得ｙ３—２２３）．这样，倍立方问题演变为二次曲线，即圆锥曲线问题．蠢二、几何图形中的圆锥曲线古希腊几何学家、天文学家门奈赫莫斯（Ｍｅｎａｅｃｈｍｕｓ）是系统研究圆锥曲线的第一ＮｅｗＵｎｉＶｅｒｓｉｔｙＥｎｔｒａｎｃｅＥｘａｍｉｎａｔｉｏｎ人，他的方法是：用一个平面垂直于顶角分别是锐角、直角和钝角的圆锥的母线，得到三种不同截线，他把这三种截线分别叫做“锐角的”、“直角的”和“钝角的”圆锥截线（如图１），即椭圆、抛物线和双曲线，可惜的是仅仅发现双曲线的一支．倍立方问题、圆锥曲线就这样神奇地产生在圆锥曲面上．圆锥曲线也就摊上神话，从倍立方的尺规作图，到古希腊神话，再到二次曲线即圆锥曲线，为我们增添了围绕圆锥曲线的许多相关主题．在公元前３世纪前后，最著名的希腊三大学者欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ）、阿基米德（ｐ虹ｃｈｉｍｅｄｅｓ）和阿波罗尼斯（ＡｐＯｌｌｏｎｉｕｓ）都研究了圆锥曲线．欧几里德在《几何原本》中给出了圆锥曲线统一定义；阿波罗尼斯用三种不同位置的平面去截双圆锥，得到与水面平分别成锐角、直角、钝角这三种截线，并分别命名为椭圆、抛物线和双曲线（如图２），他的传世之作《圆锥曲线论》，用的都是纯粹几何的方法将圆锥曲线的性质网罗殆尽，可惜阿波罗尼斯的工作虽然走到了解析几何的人口处，但也只好就此而止．鼻三、圆锥曲线与解析几何随着中国、印度和阿拉伯为代表的东方代数书传人欧洲，其数学由原来古希腊的用几何方法来解决代数问题，一下子发生了一个逆转，转为用代数的方法来解决几何问题．笛卡尔（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ）的《几何学》用代数语言表示几何性质，把几何曲线看成是代数方程的轨迹，而费马（ＰｉｅｒｒｃｅＦｅｒｍａｔ）从相反的角度得到了圆锥曲线，从而扭转了代数对几何的从属地位．因此，这两位数学家所做出的首创贡献，是数学史上最伟大的里程碑．于是，最重要的数学成就之一——解析几何创立了，它标志着变量数学时期的开始，对圆锥曲线的研究也有了新的方法和更广阔的视野．四、圆锥曲线与自然科学圆锥曲线从古希腊走来，其中虽然凝聚了无数先贤的智慧和努力，但它的产生和发展多少给人们一种像神话一般横空出世的感觉．在１６世纪，德国天文学家开普勒（Ｋｅｐｌｅｒ）和意大利物理学家伽利略（Ｇａｌｉｌｅｏ）在自然科学领域对其的研究不但把一个纯数学领域的问题转化为刻画自然规律的有力工具，也把这个从传说中走来的问题赋予了现实意义．开普勒继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实，并对圆锥曲线的性质作了新的阐述．他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆．从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式．譬如，椭圆有左、右两个焦点Ｆ，，Ｆ：，若Ｆ，固定，考虑Ｆ：的移动，当Ｆ。

向Ｆ。移动，椭圆逐渐趋向于圆，Ｆ，与Ｆ：重合时即为圆；当Ｆ：向右移动，椭圆逐渐趋向于抛物线，Ｆ２到无穷远处时即为抛物线；当Ｆ。从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来，即为双曲线，这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础．与此同时，伽利略得出物体斜抛运动的轨道是抛物线，人们发现，圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式．五、圆锥曲线的应用与未来对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高．正是因为圆锥曲线具有这样的价值，人们一直在研究它在生产实际中的应用．毫不夸张地说，圆锥曲线在现实生活中的应用价值几乎无处不在，正是对其性质的研究开阔了圆锥曲线广泛的应用领域．在建筑学中，我们可以看到许多的建筑呈椭圆形，例如运动场，椭圆形赛场能够很好地照顾到观众视线的均衡，这一点可以从椭圆的第一定义表现出来．由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交．人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固．由抛物线绕其轴旋转，可得到一个旋转曲面，它也有一条轴，即抛物线的轴，在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线．这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理．圆锥曲线的历史已然成为历史；我们站在先贤的肩膀上，利用着圆锥曲线影响着我们生活的方方面面；圆锥曲线的未来还需要我们去探索、去谱写，同学们，你们准备好了吗？！ＮｅｗＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＥｎｔｒａｎｃｅＥｘａｍｊｎａｔｉｏｎ１３