一位德国数学家讲得好：在数学发展的历史上，许多国家的数学家都曾寻找过更加精密的圆周率，因此圆周率的精密程度可以作为衡量这个国家数学发展水平的标志。根据这种说法，我们就能认识到祖冲之的辉煌成就，具有多么巨大的意义，从中看出我国古代数学发展的高水平。

祖冲之（公元429～500），字文远，范阳遒县（今河北省涞水县北）人，生活于南朝的宋、齐之间，是我国古代杰出的数学家、天文学家和机械发明家。祖冲之卓越的数学成就，在世界数学史上闪耀着光芒，是中华民族的骄傲。南朝时期，经济繁荣，文化发达，因而也对科学技术进步提出较为迫切的要求。这为祖冲之的科学成就创造了良好的社会基础。祖氏家族世代掌管历法。祖冲之从小受到很好的家庭教育，对于自然科学、文学和哲学都有浓厚的兴趣。他尤其酷爱数学、天文学、机械制造，苦心钻研。当时宋朝政府中有一个研究学术的机关，叫华林学省，祖冲之青年时期就被吸收在这里从事研究工作。祖冲之一面研究继承家学，一面学习我国古代及外国传入的科学成就。他博览群书，兼学百家，为后来的科研工作奠定了深厚的基础。

祖冲之小时候酷爱数学和天文，学习非常刻苦，他“专攻数术，搜炼古今”，把从古代到6世纪所保存的观测记录和有关文献，几乎全部搜集来作为参考。他对圆周率的研究开始得很早，后来达到了如醉如痴的地步。相传，有一天，夜已经很深了，他翻来覆去睡不着，《周髀算经》上说，圆周的长是直径的3倍，这个说法对吗？天还没亮，他就把妈妈叫醒，要了一根绳子，跑到大路上，等候着马车。突然，来了一辆马车，祖冲之喜出望外，要求量马车的轮子，经过再三测量，他总觉得圆周长大于直径的3倍，究竟大多少？这个问题一直盘旋在他的脑子里，直到40多岁，才解开了这个谜。

祖冲之最突出的成就是对圆周率的精确推算。现在都知道，圆周率是圆的周长与直径的比。这是一个常数，一般用希腊字母π表示。已经证明，π不但是一个无理数，而且是一个超越数，就是说，既不能用有限的数字精确地表示它，也不能用有限的代数式精确地表示它。祖冲之对圆周率的研究，包含在与他儿子祖恒合著的《缀术》中。这是一部什么样的著作呢？

原来，为了传播我国历代的数理精华，唐朝选定10部具有代表性的算书作为课本，称为《算经十书》，即《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缀术》、《辑古算经》。在这10部鸿篇巨著中，内容最丰富的是《九章算术》。魏晋时数学家刘徽作注以后，才使人们能够理解它的内容。后来，祖冲之感到刘徽的注意犹未尽，就写了数十篇专题论文，称为《缀术》。作为对刘徽注的补充。《缀术》是一部很有价值的科学巨著，内容博大精深，连当时的“学官”也看不懂。到了唐朝被列为国立学校的必读教材，需学4年，是学习时间最长的算书。日本和朝鲜在12世纪也把《缀术》作为教科书。后来在北来中期失传，这是数学界的重大损失。《缀术》究竟包括哪些内容呢？在唐朝魏徵等编著的《隋书·律历志》中有一些记载：“宋末，南徐州人从事史祖冲之更开密法。以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽；朒（nù，不足）数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三、圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。”

这里，“开”是开创，“以圆径一亿为一丈”，是分直径一丈为一亿等分：“盈数”是圆周的过剩近似值，“朒数”是不足近似值；“正数”是正确数值，即真值。

上面的记载，包含了三点意思：

1.3.1415926＜π＜3.1415927；这一光辉的数据，使我国在数学上又创造了一个世界第一，在圆周率计算这个领域遥遥领先世界长达1000年。1000年后，相继又有法国数学家韦达取得以上结论一，德国数学家渥脱重新取得结论二，并由亚西亚阿尔、卡西打破祖冲之创造的结论一的世界纪录。

日本的数学家三上义夫将祖冲之的“密率”称为“祖率”。莫斯科大学礼堂前的廊壁上，用彩色大理石镶嵌着的世界著名科学家肖像中有我国两位，其中之一就是祖冲之。60年代初，人类探索太空奥秘时，曾将月球背后的一个山脉命名为祖冲之山。祖冲之为中华民族赢得了光荣，世界人民将永远缅怀这位科学巨人。

祖冲之是世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后七位数字的人。直到一千年后，这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学家维叶特所打破。

祖冲之提出的它研究和计算的结果，证明圆周率应该在3.和3.之间，也是直到一千年以后，才由德国称之为“安托尼兹率”，还有别有用心的人说祖冲之圆周率是在明朝末年西方数学传入中国后伪造的，这是有意的捏造。

记载祖冲之对圆周率研究情况的古籍是成书于唐代的史书《隋书》，而现传的《隋书》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本，其中就有和其他现传版本一样的关于祖冲之圆周率的记载，事在明朝末年前三百余年。而且还有不少明朝之前的数学家在自己的著作中引用过祖冲之的圆周率，这些事实都证明了祖冲之在圆周率研究方越的成就。

那么，祖冲之是如何取得这样重大的科学成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基础之上的。从当时的数学水平来看，祖冲之很可能是继承了刘徽所创立和面卓首先使用的割圆术，并且加以发展，因此获得了超越前人的重大成就。

在前面，我们提到割圆术时已经知道了这样的结论：圆内接正n边形的边数越多，各边长的总和就越接近圆周的实际长度。但因为它是内接的，又不可能把边数增加到无限多，所以边长总和永远小于圆周。

祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小于3.、大大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。

要作出这样精密的计算，是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道，在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种材料制成。

通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不象用笔，笔算可以留在纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算；只能用笔记下计算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。

因此只要一有差错，比如算筹被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的数值，就需要对九位有的小数进行15927加、减、乘、除和开方运算等十多个步骤的计算，而每个步骤都要反复进行十几次，开方运算有50次，最后计算出的数字达到小数点后十六、七位。

今天，即使用算盘和纸笔来完成这些计算，也不是一件轻而易举的事。让我们想一想，在一千五百多年前的南朝时代，一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重新摆放数以万计的算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要日复一日地重复这种状态，一个人要是没有极大的毅力，是绝对完不成这项工作的。

这一光辉成就，也充分反映了我国古代数学高度发展的水平。祖冲之，不仅受到中国人民的敬仰，同时也受到世界各国科学界人士的推崇。1960年，苏联科学家们在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有贡献的科学家的名字，来命名那上面的山谷，其中有一座环形山被命名为“祖冲之环形山”。

祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，适应了当时生产实践的需要。他亲自研究过，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。

古代有一种量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，那这种量器的容积有多大呢？要想求出这个数值，就要用到圆周率。祖冲之利用他的研究，求出了精确的数值。

他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”（另一种量器，与上面提到的 都是类似于现在我们所用的“升”等量器，但它们都是圆柱体。），由于刘歆所用的计算方法和圆周率数值都不够准确，所以他所得到的容积值与实际数值有出入。祖冲之找到他的错误所在，利用“祖率”校正了数值。为人们的日常生活提供了方便。

以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。祖冲之在前人的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，将圆周率推算至小数点后7位数，并得出了圆周率分数形式的近似值。

祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从查考；如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16000多边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！

据《隋书·律历志》记载，祖冲之以一忽（一丈的一亿分之一）为单位，求直径为一丈的圆的周长，求得盈数为3.、肭数为3.，圆周率的真值介于盈肭两数之间。

《隋书度量衡》没有具体说明祖冲之是用什么方法计算出盈肭两数的。一般认为，祖冲之采用的是刘徽的割圆术，但也有别的多种猜测。这两个近似值准确到小数第7位，是当时世界上最先进的成就。

直到一千多年以后，15世纪阿拉伯数学家卡西和16世纪法国数学家F.韦达才得到更精确的结果。祖冲之确定了π的两个渐近分数，约率22/7和密率355/113。

其中密率355/113（≈3.）西方直到16世纪才由德国人V.奥托发现。它是三个成对奇数113355再折两段组成，优美、规整、易记。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家把圆周率π的密率叫做“祖率”。

祖冲之在数学领域的成就，只是中国古代数学成就的一个方面。实际上，14世纪以前中国一直是世界上数学最为发达的国家之一。比如几何中的勾股定理，在中国早期的数学专著《周髀算经》（大约于公元前2世纪成书）中即有论述；成书于公元1世纪的另一本重要的数学专著《九章算术》，在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；13世纪时，中国就已经有了十次方程的解法，而直到16世纪，欧洲才提出三次方程的解法。