来来来,上课时间到了。这几个概念,对于刚学信号系统的同学甚至对于很多信号处理的老司机来说,都是分不清楚的,下面我们就一一解释这几个概念。
要解释几个概念,就要首先说一下信号的能量和功率。信号按能量是否有限,可以分为:能量信号和功率信号,能量信号的能量是有限的,功率信号的能量是无限的。下面我们具体解释一下这两个概念。
在信号系统领域,通常把信号功率定义为电流在单位电阻(1欧姆)上消耗的功率,即归一化功率P。
P=\frac{U^2}{R}=I^2R=U^2=I^2
一般的,用s表示电流或电压,信号能量是信号瞬时功率的积分,因此,信号的能量为:
E=\int_{-\infty}^{+\infty} s^{2}(t) d t
若信号能量是一个正的有限值,即 0 ,则称为能量信号,此时的平均功率定义为:
P=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{+T / 2} s^{2}(t) d t
由于积分里面是个有限值,而T是无穷大,因此P=0,所以能量信号的平均功率是0.
也就是说,如果P不是0(功率信号),那么积分的结果肯定是无穷大,也就说能量是无穷大。
所以,这里再重复一遍上面的结果:
能量信号:能量有限,平均功率为0;
功率信号:能量无穷大,功率非0。
搞清楚上面两个概念之后,我们再来看信号的频率特性分类,有四种:功率信号的频谱、能量信号的频谱密度、功率信号的功率谱(密度)和能量信号的能量谱密度。
功率信号的频谱:
周期性功率信号的频谱函数为:
c_{n}=c\left(n f_{0}\right)=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T / 2}^{+T / 2} s(t) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_{0} t} d t
式中, f_{0}=1/T_{0} ,n为整数。
c_{0}=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T / 2}^{+T / 2} S(t) d t
一般来说, c_{n} 是一个复数,代表在频率 nf_{0} 上信号分量的复振幅。
c_{n}=\left|c_{n}\right| e^{j \theta_{n}}
对于周期性功率信号来说,其频谱函数cn(cn就是s(t)的傅里叶系数)是离散的,只有在f0的整数倍上取值。由于n可以取负值,所以在负频率上 c_{n} 也有值,通常称为双边频谱,双边普中负频谱仅在数学上有意义;在物理上,并不存在负频率。但我们可以找到物理上实信号的频谱和数学上的频谱函数的关系,对于物理可实现信号有
c(-n)=conj(c(n))
即频谱函数的正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系。这就是说,负频谱和正频谱的模是偶对称的,相位是奇对称的。
对于非周期性的功率信号,原则上可以看成周期等于无穷大,仍然可以按照以上公式,但是实际上的积分是难以计算的。
能量信号的频谱密度:
设一个能量信号为 s(t) ,则将它的傅里叶变换定义为它的频谱密度:
S(\mathrm{f})=\int_{-\infty}^{+\infty} s(t) \mathrm{e}^{-j 2\pi f t} d t
傅里叶变换存在的条件是f(t)在负无穷到正无穷的区间内积分为有限大,即绝对可积。因此傅里叶变换的结果就是能量信号的频谱密度,但为了统一说法,我们一般也叫频谱。
(我们平时所说的做个fft看频谱,其实是指的频谱密度)
那为什么叫频谱密度呢?因为能量信号能量有限,并分布在连续的频谱轴上,所以在每个频点f上信号的幅度是无穷小,只有在一小段频率间隔df上才有确定的非零振幅。所以,能量信号的频谱都是0,频谱密度才有意义。
能量信号的频谱密度s(f)和周期性功率信号的频谱Cn的区别主要为:
1. .S(f)是连续谱,Cn是离散谱。即周期对应离散,非周期对应连续。
2. S(f)的单位是V/Hz,Cn的单位是V。
从傅里叶变换的公式可以看出,s(t)在时间维上的积分,结果的量纲应该是V*s = V/Hz,所以傅里叶变换的结果是频谱密度。
这里多说一点,量纲是个好东西,很多公式不理解的时候,把量纲分析一下,能起到很大作用。
看到这里,可能有点明白了。但再回想一下信号系统中最常见的正弦信号,这是个功率信号,但我们平时好像一直在说它的傅里叶变换,也并没有什么太大问题。这是因为引入了单位冲击函数 \delta(t) ,其性质如下:
\left\{\begin{array}{c}{\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) d t=1} \\ {\delta(t)=0 \quad(t \neq 0)}\end{array}\right.
\delta(t) 在物理上是不可实现的,但在数学上, \delta(t) 可以用某些函数的极限来描述。例如用抽样函数的极限描述:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{k}{\pi} S a(k t) d t=1 \rightarrow \delta(t)=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{k}{\pi} S a(k t)
换句话说,抽样函数的极限就是冲激函数。
有了冲激函数,我们就可以把功率信号当做能量信号看待,计算其频谱密度,功率信号在某些频率上的功率密度为无穷大。但是我们可以用冲击函数来表示这些频率分量。
比如:
s(t)=\cos \left(2 \pi f_{0} t\right) \rightarrow S(\mathrm{f})=\frac{1}{2}\left[\delta\left(f-f_{0}\right)+\delta\left(f+f_{0}\right)\right]
因此,只要引入冲激函数,我们同样可以求出一个功率信号的频谱密度,换句话说,引用了冲激函数就能把频谱密度推广到功率信号上,即我们可以直接对功率信号做傅里叶变换。这样把傅里叶变换的结果统称为频谱(严格来说应该是频谱密度)。
能量信号的能量谱密度:
根据Parseval定理,信号时域能量和频域能量相等,有
E=\int_{-\infty}^{+\infty} s^{2}(t) d t=\int_{-\infty}^{+\infty} S^{2}(f) d f
我们将 |S(f)|^{2} 称为能量信号的能量谱密度,它表示在频率f处宽度为df的频带内的信号能量,或者可以看做是单位频带内的信号能量。
功率信号的功率谱(密度):
这里为什么要把密度加括号呢?因为当我们说功率谱的时候,其实指的就是功率谱密度,它表示单位频率的信号功率。
可能网上有人提过这种说法:若信号能量为E,时间为T,频带为F,则功率谱是表示为E/T;而功率谱密度是表示为E/T/F。
这种说法其实是有问题的,因为E/T表示的是平均功率,而不是功率谱,平均功率并没有谱的概念。
信号的平均功率定义为:
P=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}|s(t)|^{2} d t= \int_{-\infty}^{\infty}\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{|S(f)|^{2}}{T} d f
设 \vartheta(f) 表示信号的功率谱密度,则有
P=\int_{-\infty}^{\infty} \vartheta(f) d f
因此,信号的功率谱密度为:
\vartheta(f)=\lim_{T \to \infty}\frac{|S(f)|^{2}}{T}
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