芝诺悖论错在哪里

芝诺是古希腊著名的数学家，芝诺悖论错在哪里，哲学家。他以“芝诺悖论”而闻名于世。为了论证老师巴门尼德的“运动具有不可分性”的观点，他提出了“二分法悖论”与“阿基里斯追不上乌龟”等悖论。二分法悖论如下：

芝诺悖论错在哪里（芝诺的悖论的根本错误到底在哪里）

“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。

我们先来解一下这个悖论：假设这个人走完第一个1/2的路程用的时间为t1，走完第二个1/2的路程用的时间为t2，走完第三个1/2的路程用的时间为t3，等等。那么这个人走完全程所用的时间应该是t1+t2+t3+……。因此，悖论所谓的“永远不能到终点”的“永远”，实际上就是指t1+t2+t3+……这个时间和为无穷大。也许古希腊的人认为无穷多个时间之和一定是无穷大，故而说永远不能抵达终点。事实上，用现代微积分理论，可以轻松算出t1+t2+t3+……这个时间和是一个有限数，即在有限时间内可达终点。于是悖论中的“永远不能抵达终点”之说就站不住脚了。换句话说，芝诺悖论可以用微积分理论给以解释——即这个人在有限时间内可以抵达终点，这与我们实际经验相一致。同样地，阿基里斯追不上乌龟的悖论也可以用微积分理论给以解释。

芝诺的悖论的根本错误到底在哪里

我记得芝诺悖论至少有三个，其中最熟悉的是龟兔赛跑悖论。说乌龟领先兔子100米，二者同时起跑，芝诺的结论是兔子将永远追不上乌龟。

芝诺给出的推理过程是，设定兔子的速度是V，乌龟的速度是v,V是v的10倍，那么当兔子跑到乌龟的起跑线时，乌龟将再次领先100÷V×v，以此推论下去将是个兔子无限缩小乌龟领先距离的过程。

（文字排版不支持公式，只能用图片，你会意即可）

由100÷V×v不断推演，芝诺悖论错在哪里，得出的结论是一个无限小数，所以在数学上兔子也永远无法超越乌龟，结论显然是荒谬的！但数学家和哲学家终归会有办法解决这个问题。

传统方法解决芝诺悖论用的是极限思想，比如无限循环数0.9999999.....的极限是1，所以芝诺所说的无限循环缩减的距离是有尽头的，这也完美解释了为什么现实中兔子会追上乌龟的问题。

芝诺悖论

在公元前5世纪左右，古希腊的埃利亚学派有个数学家名叫芝诺，特别喜欢以悖论的方式阐述数学思想。据说当时一共提出了40多条悖论，可惜流传下来的也只有8个。

其中“追不上的乌龟”就是其中最著名的悖论之一。

其实人家原文说的可不是“你永远也追不上一只乌龟”，而是就连阿基里斯也追不上它。那阿基里斯是古希腊神话故事中特别擅长跑步的英雄，可比你跑得快多了[呲牙]。

假设阿基里斯要和乌龟赛跑，为了让比赛尽可能精彩，就先让乌龟跑出100米，然后阿基里斯在后面追。设定阿基里斯的速度是乌龟的10倍，看似很容易做到的事儿，在芝诺情境里，却是永远也追不上了。

他的逻辑是这样的：阿基里斯要追乌龟，总得把这落下的100米追上吧？但是你看，当他追上这100米来到乌龟的起点时，那只乌龟可是又往前爬了10米呢！现在乌龟在阿基里斯前面10米了，距离虽然更近了，但是阿基里斯想追上乌龟，总得达到它现在的位置吧？所以阿基里斯又继续往前跑了10米到了乌龟之前的位置，但是此时此刻乌龟却又在同一段时间里往前继续爬了1米......接下来的事情不用我说了吧，阿基里斯跑1米，芝诺悖论错在哪里，乌龟就跑0.1米；阿基里斯跑0.1米，乌龟就跑0.01米；阿基里斯跑0.01米，乌龟就跑0.001米......注意到什么问题没有？无论阿基里斯怎么跑，这只乌龟都在他的前面，哪怕0.00000000001米，芝诺悖论错在哪里，也是追不上的！[捂脸]