德国数学家、天文学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯，被许多人认为是"自古以来最伟大的数学家"，但他却给出了如此赞誉献给欧拉本人。

伟大的数学家（伟大的数学家有哪些）

本文将介绍瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是如何解决著名的巴塞尔问题的。欧拉是历史上最伟大的数学家之一。他的多产被誉为传奇，且他的数学成果足以汇聚成92卷文集。

“读读欧拉吧，他是我们所有人的老师。”——皮埃尔-西蒙·拉普拉斯

巴塞尔问题于1650年由意大利数学家彼得罗·门戈利首次提出，1734年由欧拉解决，这使他立即得到认可。这个问题是求自然数的平方的倒数之和：

等式1：巴塞尔问题

许多有影响力的数学家试图找到一个公式，以求自然数平方的倒数之和。如微积分的两位共同发明者约翰·沃利斯和伟大的戈特弗里德·莱布尼兹就是尝试了这个问题但以失败告终的众多人中的两位。但年仅28岁欧拉在就解决了这个难题，并且他给出的答案的数学性质令数学界感到惊讶。尽管他给出第一个证明(他后来又提供了其他几个证明)并不是严谨的，但它的美、简单和原创性是都是令人难以置信的。

图3:巴塞尔是瑞士的第三大城市,也是欧拉的故乡(图自维基)

欧拉的独到见解是将sinc(πx)函数写成了根式解的形式。

等式2：sinc(πx)函数的定义

图4:在x=?6π到6π区间显示在同样尺度上的归一化sinc(x)(蓝色)与非归一化sinc函数(红色)

将表达式相乘后展开，我们能够得到下面结果：

等式4：乘开各因子之后的表达式

欧拉的策略是将同样的展开式应用到超越函数上。

超越函数就是“超出”代数函数范围的函数，是指那些不满足任何以多项式方程的函数，也就是不能写成与“等式4”类似的多项式相乘的形式。指数函数、三角函数和对数函数是三个众所周知的超越函数例子。

图5：指数函数、对数函数和三角函数的图象(图自维基)

sinc(πx)函数具有以下根：

等式5：sinc(πx)函数的根

由于对于等式5中的每个根都有相应的负根，因此等式可以写成下列形式：

等式6：sinc(πx)函数的零点式

下一步是将等式6中的因子相乘展开，但让我们只关注其二次项就可以了：

等式7：等式6展开后其二次项系数

泰勒级数是将函数表示为无限项连加式，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

图6：随着增加泰勒级数的项，它就越接近到准确的函数。黑色细线表示函数sin(x)，蓝色粗线是泰勒多项式

图6所示的七个泰勒级数代数形式如下：

等式8：相应的次数的泰勒多项式。这些函数图象如图6所示

sinc(x)函数的泰勒展开式是：

等式9：sinc(πx)的泰勒展开式

人们可以认为「等式8」是具有无限项的"伪多项式"，就像「等式5」中所示它有无穷个根。

对比「等式7」和「等式9」，我们得了目标结论：

等式10:欧拉给出的巴塞尔问题的答案

作为额外收获，欧拉的推导过程为我们提供了著名的沃利斯公式。只需在x=1/2代入「等式6」中即可得到。