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两种效率概念：帕累托最优与社会福利最大化

一、效率的一般含义

效率的一般含义是指投入产出比，或者说是指在一定条件下实现目标的程度。效率最大化在本质上是一种数学最优化问题，通常效率最大化是一种约束决策，即投入一定产出的决策和产出一定投入最小的决策。

但是经济学上通常又讲帕累托最优效率，那么帕累托效率与效率的通常含义有什么关系？帕累托效率只是经济效率的一种，那么经济效率主要包括哪些具体表现形式？

二、经济效率的主要表现形式

经济效率通常是指能够使用货币衡量的投入产出之比。总结现行经济学教材，发现经济效率有以下表现形式：

（一）个体经济决策的经济效率

有约束决策中实现经济效率：比如消费者的预算支出一定，效用最大化决策中的支出配置效率；其对偶决策为，消费者的效用水平一定，支出最小化决策中的资源配置效率。厂商的成本一定产量最大化决策及其对偶决策产量一定成本最小化决策。

无约束经济决策中实现经济效率，通常表现为完全竞争厂商的利润最大化决策。其最优一阶条件为MR＝MC，这成为边际分析经典表述。

（二）涉及集体决策的经济效率

主要有两个，一个是帕累托效率，二是社会福利最大化，这两者的区别是本文分析的重点。

三、偏序格和全序集

偏序集P是指集合P中的某些元素之间存在着序关系，但是不一定任何两个元素之间都存在序关系。如果一个集合的任何两个元素之间都存在着序关系，则称为全序集。全序集是一种特殊的偏序集。

在偏序集P中，设有一个子集S，如果P中的元素y使得，对于S中的任意元素x,都有x<=y，则称y为S的一个上界。下界可以类似定义。通常向量空间、复数集合都能够按照分量大小形成非常自然的偏序集。即两个向量X＜＝Y，等价于X的每个分量都小于或等于Y的对应分量。

偏序格是一种特殊的偏序集。格(lattice)是一个非常形象的概念，设想在平面上有两束直线，一束直线平行于X轴，另一束直线平行于Y轴，并且这一束直线中每条直线与另一束直线相互垂直相交。这就形成了平面上的一个网格。然后考察这些交点，定义一个序关系，任何两个点，凡是一个点B在另一个点A的右边或上边或右上边，则称A＜B。那么这些交点集合就形成了一个格。

在偏序集中，任给两个元素x,y，如果存在一个最小的共同上界sup(x,y)，这称为这两个元素构成的子集的上确界。下确界可以类似定义。如何一个偏序集中任意两个元素都有上确界和下确界，那么这个偏序集就称为格或偏序格。一个集合的所有子集按照集合的包含关系形成一个偏序格。

显然向量空间自然形成的偏序结构是一种格。

我们下面关注偏序集的极值点与最值点。一个偏序集S，其中一个元素m如果符合下述条件则称为S的一个极大值：在S中不存在异于m的元素比m大。例如，设X、Y都是整数，并且X＋Y<=5,X＞＝0，Y＞＝0，则所有符合条件的点（X，Y）构成一个向量偏序集Q，即在左边或下边或左下边的点更小。那么这个集合存在着6个极大值点，即X＋Y＝5的那些点。对于极小点可类似定义。

对于偏序集S，如果S中的元素M满足，在S中的所有元素都小于或等于M，则称M为S的最大值。显然，最大值点一定是极大值点，但是极大值点不一定是最大值点。这与通常的最大值点与极大值点的关系完全一样。

四、帕累托最优与社会福利最大化的比较

多人福利向量按照分量的大小形成的偏序集是一个偏序格。

帕累托改进的意思是说，在多人福利向量空间中，社会调整的方向应该向着序增方向进行，即至少一个人利益增加而其他人利益不减少。

所谓帕累托最优，意思是说，在资源禀赋既定情况下，社会资源能够生产出的产品分配所形成的多人效用可能集合中的极大值点。即帕累托最优点是一个有界的多人福利向量空间的子集中的一个极大值点。

不同帕累托最优点之间无法进行大小比较。从而帕累托效率并不能完全解决资源配置问题。

帕累托最优点的形成，可能通过在一定的技术和资源禀赋约束条件下，以及其他人的效用水平一定条件，求某个人的效用最大化来得到。也就是说，帕累托最优点本质上是一种相对最优化，这里的相对最优化是指，假定其他人效用水平既定情况下，求剩余的一个人的效用最大化。帕累托最优点是一种局部概念，它只是多人福利向量偏序子集中的一个极值点而不是最值点。帕累托最优点是一种局部概念，是从某一点出发，看能否做出帕累托改进而定义的。如果不能做出帕累托改进，即在多人福利向量偏序集中不存在比此点更大的点，那么此点即为帕累托最优点；如果能够做出帕累托改进，即在多人福利向量偏集中存在着比此点更大的点，则此点为帕累托无效点。

社会福利函数是在多人福利向量空间上建立起来的一个多元函数，它在本质上是将多人福利向量空间的偏序结构变为全序结构，我们称之为偏序结构的全序化。全序化的本质是使得偏序集中那些无法排序的点也能够排序。全序化指标或全序化函数是一个综合评价函数，它将向量偏序格中的各个分量概括成为一个具有全序结构的标量。社会福利函数的等值集通常称为社会福利无差异曲线或等社会福利曲线（或曲面）。如果在一个有界闭的多人福利向量偏序集上定义了一个社会福利函数，那么这个社会福利函数一定存在着一个最大值，这就是社会福利最大化点。社会福利函数为多人福利向量空间规定了一个全序结构，在这个全序结构中，只要它是有界闭集合，那么就存在一个最大值点。当然，这个最大值点也一定是其自变量向量空间的偏序极大值点，即它一定是帕累托最优点。

但是反过来讲，帕累托最优点或极大值点不一定是最大值点。但是也可能出现所有帕累托最优点同时也是最大值点的情况，比如在第三节中的集合Q中，如果定义社会福利函数为X＋Y，则Q中的6个极大值点都是社会福利最大值点。

为了获得唯一的社会福利最大化，类似于为了获得唯一的消费者支出一定条件下的效用最大化，经济学家们可能会对社会福利函数进行各种性质的限制，比如说凸性限制。但是，如果说对于消费者的效用函数进行严格凸性限制还有点道理的话，对于社会福利函数进行严格凸性限制的合理性就并不明显了。

社会福利函数最大化是在技术和资源禀赋一定条件下进行的，其目标函数是社会福利函数，约束条件包括每个人的效用函数，生产函数，和资源禀赋。而帕累托最优是在技术和资源禀赋一定条件下，同时假定其他人的效用水平为参数，对剩下的一个人的效用进行最大化，目标函数是一个人的效用函数，约束条件包括其他人的效用为既定，生产函数，资源禀赋。可见，社会福利函数最大化的约束条件是帕累托最优决策的约束条件的一个子集。从而其得出的社会福利最大化点也是帕累托最优点的一个子集了。社会福利最大化可以是由效用可能性曲线（上面包括了全部的帕累托最优点）能够接触到的最高的等社会福利曲线的点。

社会福利最大化是全局最优，如果社会福利最大化具有唯一解，那么资源配置问题算是完全解决了。但是社会福利最大化问题也不一定是唯一解，这与效用可能性曲线（帕累托最优点）和等社会福利曲线的形状有关。

五、社会福利函数最大化才是真正的全局性的经济效率概念

社会福利最大化才是真正的全局性的经济效率概念，而帕累托最优只是局部性经济效率概念。但是由于社会福利函数必然涉及到人际效用比较，使得经济学家们为了避免人际效用比较的困难，宁愿避免使用社会福利函数最大化的经济效率概念而使用帕累托最优的效率概念。由于主流经济学主要是以局部最优或作为极大值点的帕累托最优来作为经济效率的主要概念，使得分配公正性问题在经济学中一直悬而未决。

社会福利函数存在的一个主要困难是人际间效用比较。如果只是序数效用，阿罗不可能性定理证明了不一定存在社会福利函数，黄有光证明了基数效用是存在社会福利函数的充分必要条件。黄有光试图通过效用感量作为效用单位来为效用的测定和人际比较找到一个绝对的标准。但是如果规定有效用感觉阈限的话，那么又会导致序结构的悖论。为此，只能设定一个初值条件，把连续的效用以效用感量为单位间隔进行离散化，这样似乎可以实现基数效用。但是这仍然存在一些困难。

总之一点，帕累托最优概念不足以进行公共政策决策。社会福利函数是实现公共政策决策的必要理论基础。而人际间效用比较的困难则成为社会福利函数的最大障碍。由此，人际间效用比较成为社会科学中最大的难题。