伯恩哈德·黎曼，1826年9月17日－1866年7月20日

素数是什么（素数是什么数）

“有了这些方法的帮助，小于x的素数的个数就可以确定了。”伯恩哈德·黎曼如是说。黎曼所说的方法，就是我们接下来要介绍的数学中最有名的函数之一：黎曼Zeta函数。在讨论素数的那部分中，我提到了伯恩哈德·黎曼1859年的论文《论小于某个给定值的素数的个数》，在论文中他发现了一个计算小于任意给定值的素数个数的方法。这是一个了不起的方法，让数学家从更深层次了解素数的分布和性质。但唯一的问题是黎曼无法证明这个方法是对的，不过他证明了如果Zeta函数展现的线性排布是正确的，那么计算素数个数的方法也一定是正确的，但他同样无法证明线性排布是正确的。

在论文发表后，当时的焦点就变成了“只要能证明Zeta函数的线性排布规律是正确的，数学家就能洞察素数的秘密”。这听起来非常合理。黎曼的论文只有10页。他将一些工作留给后人去完成也是可以理解的，或许，一想到这些结论有可能都是对的，他就激动得不行，以至于最后自己没去证明它。结果，就像人=铁、饭=钢一样确定无疑，其他数学家接手了黎曼的工作，但是他们也无法证明。直到现在，黎曼假设仍悬而未决。

那么，什么是黎曼Zeta函数（自从黎曼的论文问世之后，不断有许多没那么有名的Zeta函数涌现，但是一般而言，提到“Zeta函数”时一般指的是黎曼的原始版本）呢？我们其实在前面已经见过它了—它建立在欧拉解决的巴塞尔问题之上。Zeta函数是对无穷负幂次序列求和，一般我们用希腊字母Zeta(ζ)来指代黎曼Zeta函数，如下式：

你应该对它比较熟悉了，因为不仅欧拉计算了这个函数的一些结果，而且我们利用伯努利数也很容易计算出s为偶数时的函数值。但是，为了看到Zeta函数的全貌，我们需要计算s取任意值时的情形。黎曼不仅将这种“巴塞尔函数”推广到s取非整数的情形，还将其推广成能同时输入两个数值的函数。

我们似乎走得太远了。讨论黎曼假设和Zeta函数时，通常都怀有“先把人骗过来再说”的想法。说好要深入研究素数的个数和分布，你却谈负幂次求和。素数去哪儿了？别急，它们之间确实有奇异的关联。为了指明这一点，我们还得再谈到欧拉。

如果我们将Zeta函数画出来，也许就可以更直观地观察它。然而，即便是找到“简单”部分的精确函数值，也要花费欧拉、拉马努金以及其他仍然在世的著名数学家的大量精力。要想获得更复杂的函数值似乎是不可能的，而素数在我们看到Zeta函数全貌之前是不会透露它们的秘密的。但看看素数在当今数据安全领域的至高地位，我们的探索一定是值得的。

不过，我们可以用些小把戏。我们虽然求不到精确值，但是可以计算“足够好”的近似值。假设我们不知道，但打算用赖皮的方法寻求得数。我们可以不计算无穷项之和，只计算有限项的和来逼近准确的结果。如果只取前3项，我们会得到1.361111111，而，所以前3项的结果还不是很接近。取前10项会好一些，误差会降低到5.8%。不过计算过程太无聊了，所以我写了一个程序将前10亿项加起来，最终得到1.64493405783457，这个数字已经足够接近精确答案了。

这是一个仍然涉及大量计算的取巧方法。相比之下，拉马努金的天才之处在于，他发现了计算Zeta函数取负值时的方法。正如我们前面看到的，它们的和本来是飞速发散到无穷的，但是拉马努金却能把最核心和重要信息提炼出来。使用伯努利数，他计算出Zeta函数的输入取负值时的输出值。最终，我们可以画出Zeta函数的完整图像。

该图像显示，当输入值为正值时，输出值在无穷远处下降，然后缓慢接近1，右边的图像似乎没有什么有趣的东西。在输入值为负值的左边，函数值来回波动。它有规律地穿过横轴，交点的函数值为0，这些点毫无意外被称为零点。这些零点本身也并不令人意外，被称为平凡零点（trivialzero）。当输入值为负偶数时，它们会如期出现。而且我们知道它们为什么会出现，因为每两个连续的伯努利数就有一个0。这也都在我们的意料之中。

我们没有料到的是—在坐标轴之外还有一些零点。黎曼将Zeta函数拓展成可以输入两个数值的函数，画出了其三维图像。从图中可以看到，在原坐标轴的旁边，还有一系列零点。这些零点的出现令人意外，不仅如此，所有我们已经窥见的零点竟然排成了一条直线。

这些零点不是平凡零点，它们不能从函数表达式中明显地看出来。对于非平凡零点（non-trivialzero），直到现在，我们还没有完全理解。令人毛骨悚然的是，图象上其他地方完全有可能也有零点，但所有的零点竟然全都立正对齐站成了一条直线，而我们还不知道为什么会这样。这条直线和原来的数轴在1/2处垂直。它们随意地分布在直线上，但奇怪的是，它们全在一条直线上。黎曼假设断言Zeta函数的所有非平凡零点都在这条直线上。如果我们能够证明黎曼假设是正确的，就能证明计算素数个数的方法是正确的。这种怪异的数学逻辑——零点的直线排布，表现了本质上来源于素数分布密度内含的逻辑性。这看起来似乎没有道理，但总之，如果我们能够窥探零点直线分布的秘密，就会知道素数到底藏在哪里。

虽然一直有人尝试证明黎曼假设，但它至今仍然悬而未决。1914年，哈代成功证明了这条直线上有无穷多个零点，但他无法证明直线之外没有零点。我们目前已经知道40%的非平凡零点都在这条直线上，但是无法确切保证100%的非平凡零点都在上面。只要这条直线外有一个非平凡零点，黎曼假设就会被推翻，我们建立在其上的素数理解就会顷刻崩塌，但是我们至今一个反例也没有找到。所有事实都显示我们走在正确的轨道上，但是我们就是无法证明它。

1900年，德国数学戴维·希尔伯特（DavidHilbert）列出了一个下个世纪最重要的数学问题表，黎曼假设就位列其中。如果没有黎曼假设，我们就会失去理解素数本质的唯一线索。然而，一个世纪后，克雷数学研究所（ClayMathematicsInstitute）再次列出下个世纪的重要数学问题时，黎曼假设仍然赫然在列。直到现在，克雷数学研究所为黎曼假设设置的100万美元悬赏仍然没有找到主人。如果谁可以证明Zeta函数的所有非平凡零点都在一条直线上，谁就可以拿走这100万美元。

很多数学家做了和黎曼一样的事：在素数计数法的帮助下勇往直前，假设后面有人能够证明它是正确的。这么做看上去很保险：计算机已经检查了前10万亿个非平凡零点，它们全在那条直线上。话虽这么说，但有的数学理论就曾被比这还大的数推翻。因此，完全有可能存在跑到直线之外的零点，只不过我们还没碰到而已。证明或推翻黎曼假设会让一群人高兴或伤悲。当然，能证明其正确的人可以得到那100万美元的奖金。我觉得还应该单独为推翻它的人设立安慰奖，毕竟他扫了全人类的兴。

顺带提一下，希尔伯特自己对它也持怀疑态度，他认为即便再过1000年，这个假说依然不能被证明。他说道：“假如我可以在1000年后醒来，我的第一个问题一定是，黎曼假设被证明了吗？”

上文节选自后浪新出版《我们在四维空间可以做什么》,[遇见]已获发布此部分授权.