要理解整数的二进制，我们先来看下熟悉的十进制。我们对十进制是如此熟悉，可能已忽略了它的含义。比如123，不假思索我们就知道它的值是多少。

但其实123表示1×（10^2）+2×（10^1）+3×（10^0）（10^2表示10的二次方），它表示的是各个位置数字含义之和，每个位置的数字含义与位置有关，从右向左，第一位乘以10的0次方，即1，第二位乘以10的1次方，即10，第三位乘以10的2次方，即100，以此类推。

整数的定义（整数的定义及概念）

换句话说，每个位置都有一个位权

，从右到左，第一位为1，然后依次乘以10，即第二位为10，第三位为100，以此类推。

2.1.1正整数的二进制表示

正整数的二进制表示与此类似，只是在十进制中，每个位置可以有10个数字，为0～9，但在二进制中，每个位置只能是0或1。位权的概念是类似的，从右到左，第一位为1，然后依次乘以2，即第二位为2，第三位为4，以此类推。表2-1列出了一些数字的二进制与对应的十进制。

表2-1二进制与对应的十进制

2.1.2负整数的二进制表示

十进制的负数表示就是在前面加一个负数符号-，例如-123。但二进制如何表示负数呢？其实概念是类似的，二进制使用最高位表示符号位，用1表示负数，用0表示正数。但哪个是最高位呢？整数有4种类型byte、short、int、long，分别占1、2、4、8个字节，即分别占8、16、32、64位，每种类型的符号位都是其最左边的一位。为方便举例，下面假定类型是byte，即从右到左的第8位表示符号位。

但负数表示不是简单地将最高位变为1，比如：

1）bytea=-1，如果只是将最高位变为1，二进制应该是10000001，但实际上，它应该是11111111。

2）bytea=-127，如果只是将最高位变为1，二进制应该是11111111，但实际上，它却应该是10000001。

和我们的直觉正好相反，这是什么表示法？这种表示法称为补码表示法

，而符合我们直觉的表示称为原码表示法

，补码表示就是在原码表示的基础上取反然后加1。取反就是将0变为1，1变为0。负数的二进制表示就是对应的正数的补码表示，比如：

1）-1：1的原码表示是00000001，取反是11111110，然后再加1，就是11111111。

2）-2：2的原码表示是00000010，取反是11111101，然后再加1，就是11111110。

3）-127：127的原码表示是01111111，取反是10000000，然后再加1，就是10000001。

给定一个负数的二进制表示，要想知道它的十进制值，可以采用相同的补码运算。比如：10010010，首先取反，变为01101101，然后加1，结果为01101110，它的十进制值为110，所以原值就是-110。直觉上，应该是先减1，然后再取反，但计算机只能做加法，而补码的一个良好特性就是，对负数的补码表示做补码运算就可以得到其对应正数的原码，正如十进制运算中负负得正一样。

对于byte类型，正数最大表示是01111111，即127，负数最小表示（绝对值最大）是10000000，即-128，表示范围就是-128～127。其他类型的整数也类似，负数能多表示一个数。

负整数为什么要采用这种奇怪的表示形式呢？原因是，只有这种形式，计算机才能实现正确的加减法。

计算机其实只能做加法，1-1其实是1+（-1）。如果用原码表示，计算结果是不对的，比如：

1->00000001

-1->10000001

+------------------

-2->10000010

用符合直觉的原码表示，1-1的结果是-2，如果是补码表示：

1->00000001

-1->11111111

+------------------

0->00000000

结果是正确的。再如，5-3：

5->00000101

-3->11111101

+------------------

2->00000010

结果也是正确的。就是这样，看上去可能比较奇怪和难以理解，但这种表示其实是非常严谨和正确的，是不是很奇妙？

理解了二进制加减法，我们就能理解为什么正数的运算结果可能出现负数了。当计算结果超出表示范围的时候，最高位往往是1，然后就会被看作负数。比如，127+1：

127->01111111

1->00000001

+------------------

-128->10000000

计算结果超出了byte的表示范围，会被看作-128。

2.1.3十六进制

二进制写起来太长，为了简化写法，可以将4个二进制位简化为一个0～15的数，10～15用字符A～F表示，这种表示方法称为十六进制，如表2-2所示。

表2-2十六进制

可以用十六进制直接写常量数字，在数字前面加0x即可。比如十进制的123，用十六进制表示是0x7B，即123=7×16+11。给整数赋值或者进行运算的时候，都可以直接使用十六进制，比如：

inta=0x7B;

Java7之前不支持直接写二进制常量。比如，想写二进制形式的11001，Java7之前不能直接写，可以在前面补0，补足8位，为00011001，然后用十六进制表示，即0x19。Java7开始支持二进制常量，在前面加0b或0B即可，比如：

inta=0b11001;

在Java中，可以方便地使用Integer和Long的方法查看整数的二进制和十六进制表示，例如：

System.out.println(Integer.toBinaryString(a));//二进制

System.out.println(Integer.toHexString(a));//十六进制

System.out.println(Long.toBinaryString(a));//二进制

System.out.println(Long.toHexString(a));//十六进制