赌徒破产问题是个很有趣的问题，说的是：假设参加一个抛硬币猜正反的游戏，赢了得到1元，输了损失1元。那么假设刚开始小明有1元钱，输到0元就不能继续参与游戏了，那么输到0元的概率是多少呢？

在这个问题中对于单次抛硬币，赢或者输概率的确定是很容易的，都是0.5，但是对于输到0元这个事件，它的概率并不那么容易确定，因为它包含很多种情景，例如，第一次就输了，也就输到了0元；或者赢了3次输了四次也是输到0元。这个问题还隐藏着一个条件，就是对方的本钱无限大。

排列组合c怎么算（排列组合c(52)怎么算）

为了更好的探讨这个问题，现在将问题稍作改变：小明和小方总共有a+b元，小明有a元，小方有b元，抛硬币猜正反，赢了得到1元，输了损失1元，一方输光游戏结束。问小明把钱输光的概率是多少？

排列组合与概率问题，其实最大的难点在于对实际情景如何抽象出数学模型，对于排列组合求多少种情况，关键是对所有情况如何分类，而对于概率问题，关键是确定基本事件也就是等可能事件。有一些问题用传统方法不好解决，这一期分享三个需要用递推式的方法来解答的问题，赌徒破产问题就属于这一类。

刚才将问题稍作改变之后，下一步是抽象出数学模型。可以画一条直线，上面画a+b+1个点，从左至右给它们编号：0、1、2、......、a+b，然后把一个棋子放在a点，表示小明有a元，每一次棋子可以向左移动或者向右移动一步，向左移动或者向右移动的概率相同，棋子移到编号0的点即表示小明把钱输光。

用f(i)表示棋子最开始在编号为i处时小明输光的概率。可以想到，下一步，棋子有二分之一的概率跳到编号i-1处，有二分之一的概率跳到编号i+1处。而在i-1处小明输光的概率为f(i-1)，在i+1处小明输光的概率为f(i+1),这样在i处小明输光的概率等于：

易知:f(0)=1,f(a+b)=0

其中c和d是待定系数，将f(0)=1,f(a+b)=0代入，得到

于是刚开始小明有a元时，他输光的概率就是：

再回到最开始的问题，当对方的本钱无限大时，也就是b趋近于正无穷，小明输光的概率

也就是说，就算是公平的游戏，如果对方本钱比你多很多，如果游戏一直进行下去，你大概率要输光。

这个问题还可以更一般化，即如果单次游戏输掉的概率不一定是二分之一，而是p,则

由递推式求通项公式，可以推出：

当小明开始时拥有a元，则小明破产的概率

可以看到，当单次游戏若小明获胜的概率不超过百分之五十，则当对方拥有无限的本钱时，小明百分之百的概率破产。当单次游戏小明获胜的概率超过百分之五十，对方拥有无限的本钱时，则小明破产的概率是

此时随着小明本钱的增多，破产可能性降低。

这个问题其实还可以从数学期望的角度来思考，每一次抛硬币是独立事件，根据二项分布的模型，如果抛n次硬币，小明赢的次数应该是n/2，即若开始时小明拥有a元，游戏结束时小明的财产期望是a元。游戏结束只有两种情况，要么小明破产，要么对方破产，小明破产时财产为0，对方破产时财产为a+b，设小明破产的概率为p,则

有的同学会说还有游戏永远不结束的情况，比如小明赢一次输一次间隔着，这样永远不会结束。实际上这样的情况的概率是0。棋子在编号0、1、2、......、a+b的点之间跳来跳去，如果游戏永不结束，必然有一个点棋子会光顾无限次，由于棋子只在编号0、1、2、......、a+b的点之间跳，被棋子无限次光顾的点必然只有有限个，则不妨设相邻点编号i和编号i+1，i点棋子光顾有限次或0次，i+1点棋子光顾无限次，设第a(1)、a(2)、......、a(k)、......次抛硬币时，棋子刚好在编号i+1这个点这儿，则存在N，使a(N)、a(N+1)、a(N+2)、......次抛硬币时，棋子刚好在编号i+1这个点这儿，且下一步棋子不会跳到编号i这个点上，这样的概率是0.5,所以如果要让棋子无限地跳下去，这样的概率是：p=0.5*0.5*......=0。

当然用第一种方法，递推式求破产概率，也能知道游戏永远进行下去而不停止的概率是0。而当单次游戏小明获胜的概率超过百分之五十，对方拥有无限的本钱时，根据前面计算小明破产的概率是：

那么这时，游戏永远进行下去的概率是：