1990 年全国高考统一数学试题(文史类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。【】(2)cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于【】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 S,那么圆柱的体积等于【】【】【】(6)已知上图是函数 y=2sin(ωx+ψ)(│ψ│)的图象,那么【】(7)设命题甲为:0x5;命题乙为:│x-2│3。那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件。(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件。(C)甲是乙的充要条件。(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 【】(A){-2,4} (B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4} 【】(9)如果直线 y=ax+2 与直线 y=3x-b 关于直线 y=x 对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6 【】(10)如果抛物线 y2=a(x+1)的准线方程是 x=-3,那么这条抛物线的焦点坐标是(A)(3,0) (B)(2,0)(C)(1,0) (D)(-1,0) 【】(A)Ф (B){(2,3)}(C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1} 【】(12)A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 A,B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那么不同的排法共有(A)60 种 (B)48 种(C)36 种 (D)24 种 【】(13)已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于(A)-26 (B)-18(C)-10 (D)10 【】(14)如图,正三棱锥 S-ABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30° 【】(15)以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有(A)6 个 (B)12 个(C)18 个 (D)30 个 【】二、填空题:把答案填在题中横线上。
(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 的展开式中,x2 的系数等于。(19)如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1F将三棱柱分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1:V2=。 三、解答题。(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数。(23)如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC。DE 垂直平分 SC,且分别交AC、SC 于 D、E。又 SA=AB,SB=BC。求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面的二面角的度数。 (24)已知 a0,a≠1,解不等式 loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)loga2。(25)设 a≥0,在复数集 C 中解方程 z2+2│z│=a。1990 年试题(文史类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。(1)A (2)C(3)D(4)B (5)D(6)C (7)A(8)B (9)A(10)C(11)B (12)D (13)A (14)C (15)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。
三、解答题。(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力。依题意有由②式得d=12-2a。 ③整理得a2-13a+36=0。解得 a1=4, a2=9。代入③式得d1=4, d2=-6。从而得所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1。解法二:设四个数依次为 x,y,12-y,16-x。依题意,有由①式得x=3y-12。 ③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0。解得 y1=4,y2=9。代入③式得x1=0,x2=15。从而得所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1。(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力。解法一:由已知得两式相除得解法二 :如图,不妨设 0≤α≤β2π,且点 A 的坐标是(cosα,sinα),点 B 的坐标是(cosβ,sinβ),则点 A,B 在单位圆 x2+y2=1 上。连结 AB,若 C 是 AB 的中点,由题设知点 C连结 OC,于是 OC⊥AB,若设点 D 的坐标是(1,0),再连结 OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ)。
将②式代入①式,可得sin(α-?)=sin(?-β)。于是 α-?=(2k+1)π-(?-β)(k∈Z),或 α-?=2kπ+(?-β)(k∈Z)。若 α-?=(2k+1)π-(?-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z)。于是 sinα=-sinβ,即 sinα+sinβ=0。由此可知α-?=2kπ+(?-β)(k∈Z)。即 α+β=2?+2kπ(k∈Z)。(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力。解法一:由于SB=BC,且 E 是 SC 的中点,因此BE 是等腰三角形SBC 的底边 SC 的中线,所以 SC⊥BE。又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥BD。又 ∵SA⊥底面 ABC,BD 在底面 ABC 上,∴SA⊥BD。而 SC∩SA=S,∴BD⊥面 SAC。∵DE=面 SAC∩面 BDE,DC=面 SAC∩面 BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC。∴∠EDC 是所求的二面角的平面角。∵SA⊥底面 ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC。又已知 DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于 60°。
解法二:由于SB=BC,且 E 是 SC 的中点,因此BE 是等腰三角形SBC 的底边 SC 的中线,所以 SC⊥BE。又已知SC⊥DE,BE∩DE=E。∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥BD。由于 SA⊥底面 ABC,且 A 是垂足,所以AC 是 SC 在平面 ABC 上的射影。由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因 E∈SC,AC 是 SC 在平面 ABC 上的射影,所以E 在平面ABC 上的射影在 AC 上,由于 D∈AC,所以 DE 在平面 ABC 上的射影在 AC 上,根据三垂线定理又得 BD⊥DE。∵DE 面 BDE,DC 面 BDC,∴∠EDC 是所求的二面角的平面角。以下同解法一。(24)本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力。解:原不等式可化为loga(4+3x-x2)loga2(2x-1)。 ①当 0a1 时,①式等价于即当 0a1 时,原不等式的解集是{x│2x4}。当 a1 时,①式等价于(25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力。解法一:设 z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0 或 x=0。
由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数。下面分别加以讨论。情形 1。 若 y=0,即求原方程的实数解 z=x。此时,①式化为x2+2│x│=a。 ③(Ⅰ)令 x0,方程③变为 x2+2x=a。④由此可知:当 a=0 时,方程④无正根;(Ⅱ)令 x0,方程③变为 x2-2x=a。⑤由此可知:当 a=0 时,方程⑤无负根;(Ⅲ)令 x=0,方程③变为 0=a。⑥由此可知:当 a=0 时,方程⑥有零解 x=0;当 a0 时,方程⑥无零解。所以,原方程的实数解是:当 a=0 时,z=0;情形 2。 若 x=0,由于 y=0 的情形前已讨论,现在只需考查 y≠0 的情形,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y≠0)。此时,①式化为-y2+2│y│=a。⑦(Ⅰ)令 y0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a。⑧由此可知:当 a1 时,方程⑧无实根。从而,当 a=0 时,方程⑧有正根y=2;(Ⅱ)令 y0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a。⑨由此可知:当 a1 时,方程⑨无实根。从而,当 a=0 时,方程⑨有负根y=-2;所以,原方程的纯虚数解是:当 a=0 时,z=±2i;而当 a1 时,原方程无纯虚数解。
解法二:设 z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0 或 x=0。由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数。下面分别加以讨论。情形 1。 若 y=0,即求原方程的实数解 z=x。此时,①式化为x2+2│x│=a。情形 2。 若 x=0,由于 y=0 的情形前已讨论,现在只需考查 y≠0 的情形,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y≠0)。此时,①式化为-y2+2│y│=a。当 a=0 时,因 y≠0,解方程④得│y│=2,即当 a=0 时,原方程的???虚数解是 z=±2i。即当 0a≤1 时,原方程的纯虚数解是当 a1 时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解。解法三:因为 z2=-2│z│+a 是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即 z=x 或 z=yi(y≠0)。情形 1。 若 z=x。以下同解法一或解法二中的情形 1。情形 2。 若 z=yi(y≠0)。以下同解法一或解法二中的情形 2。解法四:设 z=r(cosθ+isinθ),其中 r≥0,0≤θ2π。代入原方程得r2cos2θ+2r+ir2sin2θ=a。于是原方程等价于方程组情形 1。 若 r=0。①式变成0=a。 ③由此可知:当 a=0 时,r=0 是方程③的解。
发表评论