1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的x2＋=1。(10)圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240，该圆锥的体积(11)椭圆25x2－150x＋9y2＋18y＋9=0的两个焦点坐标是(7，－1)，(－1，－1)。(12)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥的D－ABC体积为(13)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为260。(14)设双曲线=1(0ab)的半焦距为c，直线过l（a，0），（0，b）两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为(15)设f(x)是(－，＋)上的奇函数，f(x＋2)=－f－1.5。二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16)已知点(－2，3)与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离是5，则p=________(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有__________个（用数字作答）(18)(19)如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分11分)解不等式loga(x＋1－a)1．(21)(本小题满分12分)设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S3＋S6=2S9，求数列的公比q．(22)(本小题满分11分)已知三角形ABC的三个内角A，B，C满足A＋C=2B，=－，求cos的值．(23)(本小题满分12分)【注意：本题的要求是，参照标的写法，在标号、、、的横线上填写适当步骤，完成()证明的全过程；并解答()．】如图：在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB==a，E，F分别是BB1，CC1上的点且BE=a，CF=2a．()求证：面AEF面ACF；()求三棱锥A1－AEF的体积．()证明：面AEF面ACF．(24)(本小题满分10分)某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．结果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?(粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/(总人口数))(25)(本小题满分12分)已知l1、l2是过点P的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．()求l1的斜率k1的取值范围；()若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．答指出了每题要考查主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加数．四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(10)C(11)B(12)D(13)C(14)A(15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4(17)32(18)(19)三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．解：（）当a1时，原不等式等价于不等式组：x2a－1．()当0a1时，原不等式等价于不等式组：a－1x2a－1综上，当a1时，不等式的解集为{x|x2a－1};当0a1时，不等式的解集为{x|a－1x2a－1}．(21)本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1．但a10，即得S3＋S62S9，与题设矛盾，q1．又依题意S3＋S6=2S9可得整理得q3(2q6－q3－1)=0．由q0得方程2q6－q3－1=0．(2q3＋1)(q3－1)=0，q1，q3－10，2q3＋1=0(22)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分．解法一：由题设条件知B=60，A＋C=120．－=－2=－2将上式化为cosA＋cosC=－2cosAcosC利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2coscos=－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]将cos=cos60=，cos(A+C)=代入上式得cos=－cos(A－C)cos(A－C)=2cos2－1代入上式并整理得4cos2＋2cos－3=0，(2cos－)(2cos＋3)=0．2cos＋30，2cos－=0，cos=．解法二：由题设条件知B=60，A＋C=120．则=2α，可得A=60＋α，C=60－α所以=＋依题得，cosB=，整理得4cos2α＋2cosα－3=0，(2cosα－)(2cosα＋3)=0，2cosα＋30，2cosα－=0从而得cos．(23)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分．()BE:CF=1:2DC=2BD，DB=BC，ABD是等腰三角形，且ABD=120，BAD=30，CAD=90，FC面ACD，CA是FA在面ACD上射影，且CAAD，FAAC=A，DA面ACF，DA面ADF面ADF面ACF．在面A1B1C1内作B1GA1C1，垂足为G．B1G=面A1B1C1面A1B1，而BB1面A1三棱柱E－AA1F的高为=AA1=(24)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x公项，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷．依题意得不等式化简得x103[1－]．=103[1－(1＋0.01＋0.012＋…)]103[1－1.1045]4.1x4(公顷)答：按规则该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．(25)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：依题设：l1、l2都存在，因为l1过点P且与双曲线有两个交点，故方程组y=k1(x＋)(k10)，若(－1)=0，则方程只有一个解，则l1与以曲线只有一个交点，与题设矛盾．故(－1)0，即|k1|1．方程的判别式为1=(2)2－4(－1)(2－1)=4(3－1)设l2的斜率k2，因为l2过点P且与双曲线有两个交点，故方程组 y=k2(x＋)(k20)，