绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页.满分150 分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.3．本试卷共12 小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式2P(A+B)=P(A)+P(B)s= 4πR如果事件A、B相互独立，那么其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式4 2如果事件A 在一次试验中发生的概率是p，那么v= πR3在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径k kn−kP(k)=C p (1− p) (k= 0,1,2,...n)nn一、选择题(1)设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5， 7，8}，则A∩B等于(A){3，4，5，6，7，8} (B){3，6} (C){4，7}(D){5，8}(2)函数y=log 的图象大致是2 x淘宝网登陆 /淘宝网购物 /(A)(B)(C)(D)2(3)抛物线y = 8x的焦点到准线的距离是(A)1(B)2(C)4(D)8（4）一个单位有职工800 人，期中具有高级职称的160 人，具有中级职称的320人，具 有初级职称的200 人，其余人员120 人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从 中抽取容量为40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（A）12,24,15,9 （B）9,12,12,7 （C）8,15,12,5 （D）8,16,10,6（5）函数2的图像关于直线对称的充要条件是f(x)= x +mx+1x=1（A）m= −2 （B）m= 2 （C）m= −1 （D）m=1uuur2（ 6 ） 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 ， 点 A 在 直 线 BC 外 ， BC =16 ， uuur uuur uuur uuur uuuur AB+ AC = AB− AC ，则 AM =（A）8 （B）4（C）2（D）1π（7）将函数y= sinx的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的10 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是ππ（A）y=sin(2x− )（B）y= sin(2x− )1051 π1 π（C）y= sin( x−)（D） y= sin( x−)2 102 20（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱 原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40 元.乙车间加工一箱原 料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50 元.甲、乙两车间每天功 能完成至多70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480 小时，甲、乙两 车间每天获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10 箱，乙车间加工原料60箱淘宝网登陆 /淘宝网购物 /（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55 箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50 箱（D）甲车间加工原料40 箱，乙车间加工原料30箱（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（A）36（B）32（C）28 （D）242 2（10）椭圆 x y的右焦点为F，其右准线与 轴的交点为 ．在椭圆+ =1 a＞b＞0xA2 2 ()a b 上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是211（A）（0，] （B）（0， ]（C）[ 2−1，1） （D）[ ，1）[来源:学_科_网]2222 11（11）设a＞b＞0，则a ++的最小值是ab a a−b( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（12）半径为R的球 的直径AB垂直于平面 ，垂足为B，是平面 内边长为Oα∆BCDa R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、 ，那么M、 两点间的球面距离是 NN1718（A）Rarccos（B）Rarccos252514（C） πR（D） πR315二、填空题24 (13)(x－ ) 的展开式中的常数项为______________(用数字作答)x2 2 (14)直线x−2y+5= 0与圆x + y =8相交于A、B两点，则⏐AB⏐=. （15）如图，二面角的大小是60°，线段.，α−l−βAB⊂α B∈lα •Aβ AB与 所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是.l•B （16）设S为复数集R的非空子集.若对任意x,y∈S，都有x+ y,x− y,xy∈S，则称S为封 闭集。

下列命题： ①集合S＝{a＋b| 为整数}为封闭集；3 a,b ②若S为封闭集，则一定有0∈S；淘宝网登陆 /淘宝网购物 / ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足S⊆ T⊆ R的任意集合T也是封闭集. 其中真命题是（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12 分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内1 印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。6 （Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率； （Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. （18）（本小题满分12 分）在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中 点. （Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；D′C′ （Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；A′B′•OM• DCAB （19）（本小题满分12 分）1 （Ⅰ）○证明两角和的余弦公式C :cos(α+β)= cosαcosβ− sinαsinβ；α+β2○由C 推导两角和的正弦公式S :sin(α+β)= sinαcosβ+ cosα sinβ.α+βα+β431π （Ⅱ）已知cosα = − ,α∈(π, π),tanβ = − ,β∈ ( ,π),，求cos(α+β)5232 [来源:Z&xx&k.Com] （20）（本小题满分12 分） 已知等差数列{a}的前3 项和为6，前8 项和为-4。

[来源:学|科|网]n （Ⅰ）求数列{a}的通项公式；n淘宝网登陆 /淘宝网购物 /n−1* （Ⅱ）设b = (4−a )q (q≠ 0,n∈N )，求数列{b}的前n 项和Snnnn （21）（本小题满分12 分）1 已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝ ，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到2 直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分 别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. （22）（本小题满分14 分）1+ax 设（且），g(x)是f(x)的反函数.f(x)=x a> 0 a≠11−a （Ⅰ）求g(x)；t （Ⅱ）当x∈[2,6]时，恒有g(x)> loga2成立，求t 的取值范围；(x −1)(7− x)1 （Ⅲ）当0＜a≤ 时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与n+ 4的大小，并说明理由.2淘宝网登陆 /淘宝网购物 /数学（文史类）答案及评分参考231 5 125⎛ ⎞⎛ ⎞=1−3×⎜ ⎟ × −⎜ ⎟ =．66 627⎝ ⎠⎝ ⎠25或P A⋅B⋅C+ A⋅B⋅C+ A⋅B⋅C+ A⋅B⋅C =．() 2725 答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 ．……………………………（12 分）27 （18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空 间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力． 解法一 （Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK．因为点M是棱AA′的中点，点O是BD的中点，′′∥1∥所以AM= DD=OK′，2∥所以MO= AK．由AA ⊥ AK，得′MO⊥ AA′′′ ′因为AK⊥ BD，AK⊥ BB ，所以AK⊥平面BDDB ，所以AK⊥ BD．′淘宝网登陆 /淘宝网购物 /所以MO⊥ BD．′又因为OM与异面直线AA和BD 都相交，′′′′故OM为异面直线AA和BD’的公垂线．……………（5 分）[来源:学科网ZXXK]′′ ′′ （Ⅱ）取BB 的中点N，连结MN，则MN⊥平面BCCB．过点N作NH⊥ BC 于H，连结 MH，则由三垂线定理得，BC ⊥ MH′．从而，∠MHN为二面角M− BC − B′′的平面角．1 22设，则，o．AB=1MN=1 NH= BNsin45 ==2 24MN1在Rt∆MNH中，tanMHN=== 2 2．[来源:学科网]NH24故二面角M− BC − B′′的大小为arctan2 2．……………………………（12 分） 解法二以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D− xyz．设AB=1，则A1,0,0 ，()′′′，，，，． B 1,1,0 C 0,1,0A 1,0,1 C 0,1,1 D 0,0,1 ()()()()()ur （Ⅱ）设平面BMC′的一个法向量为n = x,y,z ．1 ()uuuur ⎛1⎞ uuuur′BM = 0,−1, ，BC = −1,0,1 ．[来源:学。

科。网 ]⎜⎟()⎝2⎠⎧ur uuuur⎧1⎪n BM = 0,⎪−y+ z= 0,1即⎨ur uuuur⎨2⎪n BC = 0.′⎪⎩ 1⎩−x+ z= 0.ur取z= 2，则x= 2，y=1．从而n = 2,1,2 ．1 ()淘宝网登陆 /淘宝网购物 /uur取平面 ′ ′的一个法向量为．BCBn = 0,1,02 ()ur uurur uurn n111 2cos n,n === ．1 2 ur uurn n9 1 31 2由图可知，二面角M− BC − B′′的平面角为锐角，1故二面角M− BC − B′′的大小为arccos ．……………………………（12 分）3⎛ π⎞⎛ π ⎞ ②由①易得，，．cos −α = sinα sin −α =cosα⎜⎟⎜⎟⎝ 2⎠⎝ 2 ⎠π⎡ π⎤⎡⎤⎛⎞ sin α+β = cos − α+β = cos−α + −β()⎢2 ()⎥⎢⎜ 2⎟ ()⎥⎣⎦⎣⎝⎠⎦⎛ π⎞⎛ π⎞= cos −α cos −β −sin −α sin −β⎜⎟ ( )⎜⎟ ( )⎝ 2⎠⎝ 2⎠= sinαcosβ+cosαsinβ． ∴sin α +β =sinαcosβ+cosαsinβ．……………………………（6 分）()淘宝网登陆 /淘宝网购物 /⎛ 3 ⎞4 （Ⅱ）Qα∈ π, π ，cosα = − ．⎜⎟⎝ 2 ⎠53 ∴sinα = − ．5⎛ π ⎞1 Qβ∈,π ，tanβ = − ．⎜⎟⎝ 2 ⎠33 1010 ∴cosβ = −，sinβ =．1010 cos α+β = cosαcosβ− sinαsinβ()⎛ 4⎞ ⎛ 3 10⎞ ⎛ 3⎞10 3 10= −× −− −×=．………………………（12 分）⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝ 5⎠ ⎜10 ⎟ ⎝ 5⎠ 1010⎝⎠n−1 （Ⅱ）由（Ⅰ）得解答可得，b = n q ，于是n012n−1S =1 q + 2 q +3 q +L+ n q ．n12n−1n若q≠1，将上式两边同乘以q有qS =1 q +2 q +L+ n−1 q +n q ．n()两式相减得到n1 2n−1q−1 S = n q −1−q −q −L−q() nnn q −1= nq −[来源:学§科§网]q−1n+1nnq − n+1 q +1()=．q−1淘宝网登陆 /淘宝网购物 /n+1nnq − n+1 q +1()于是S =．n2(q−1)n n+1()若q=1，则S =1+ 2+3+L + n=．n2⎧n n+1(), q=1 ,⎪()⎪ 2所以，S = ⎨ n+1n…………………………………（12 分）n nq − n+1 q +1⎪(), q≠1 .⎪(q−1)2()⎩22 y 与双曲线方程联立消去 得x −=1y32 222 (3−k )x + 4k x− (4k + 3)= 0． 由题意知，2且．3−k ≠ 0 ∆＞0224k4k +3 设B(x,y),C(x ,y )，则x + x =，xx =，1 12 21 221 22k −3k −322 yy = k (x −2)(x −2)= k [xx − 2(x + x )+ 4] 1 2121 21 2222 4k +3 8k= k ( 2− 2+ 4)k −3 k −3−9k2．=2k −3 因为x,x ≠ −1，1 2淘宝网登陆 /淘宝网购物 /y11 3y1 所以直线 的方程为，因此 点的坐标为，ABy=(x+1)M( ,)x +12 2(x +1)11 uuuur 3 3y1 FM=(− ,)．2 2(x +1)1uuur 3 3y 同理可得FN=(− ,2 )．2 2x +12uuuur uuur 339yy 因此FM FN= (− )×(− )+1 222 4 x +1 x +1( 1 )( 2 )−8k292k −3= +4 ⎛ 22 ⎞4k +3 4k4⎜ 2+ 2+1⎟⎝ k −3 k −3 ⎠= 0． （22）本小题考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合 等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．x y−1 解：（Ⅰ）由题意得，a =，y+1x−1 故g(x)= loga，x∈(−∞,−1)U (1,+∞)．…………………………………………（3 分）x+1x−1t （Ⅱ）由g(x)= loga＞loga 2得x+1(x −1)(7− x)淘宝网登陆 /淘宝网购物 /x−1t ①当a＞1时，＞＞0．x+12x −1 7− x()()2 又因为x∈ 2,6 ，所以0＜t＜ x−1 7− x ．[ ]( ) () 令23 2，h x = x−1 7− x = −x +9x −15x+ 7,x∈ 2,6( ) () ()[ ]′2 则h x = −3x +18x−15= −3 x−1 x−5 ．( )( )() 列表如下：x256(2,5)(5,6)′+0−h x( )5↗极大值32↘25h x( ) 所以h x= 5，( )最小值 所以0＜t＜5． 当n≥ 2时， 设，∗时，k≥ 2 k∈N1+ ak22 则 f k ==1+=1+．( )kk12 2k k1−a1+ p −1C p+C p +L +C p()kkk淘宝网登陆 /淘宝网购物 /224 4 所以 f k ≤1+=1+=1+ −．( )1 2C +Ck k+1k k+1k k( )4 4 从而 f 2 + f 3 +L + f n ≤ n−1+ −＜n+1．( ) ( )( )2 n+1 所以 f 1 + f 2 +L + f n ＜f 1 +n+1≤n+4．( ) ( )( ) ( ) 综上 f 1 + f 2 +L + f n ＜n+4．…………………………（14 分）( ) ( )( )淘宝网登陆 /淘宝网购物 /