这一节内容我们直接是针对各类解题方法进行示例分析,通过针对性的训练,充分掌握这类题目解题方法。以至于在考试中我们可以迅速对应类型,找到解题的方法,直接对应解答。
一、捆绑法
排列组合a和c计算方法(排列组合a和c计算方法例子)
四对情侣排成一队买演唱会门票,已知每对情侣必须排在一起,问共有多少种不同的排队顺序?() A.24种 B.96种 C.384种 D.40320种
解析:每对情侣必须排在一起,故可将每对情侣捆绑起来,4对情侣全排列有A(4,4)=24种排法;每对情侣又可以互相调换位置,即每对情侣又有2种排列方式,故一共有24×2的四次方=384种排法。故正确答案为C。
二、插空法
某条道路一侧共有20盏路灯。为了节约用电,计划只打开其中的10盏。但为了不影响行路安全,要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的,则共有()种开灯方案。
A.2
B.6
C.11
D.13
解析::一侧共有20盏灯,打开其中10盏,则熄灭10盏,要求相邻两盏路灯中至少有一盏是打开的,说明熄灭的灯不能相邻,用插空法解题。则将10盏熄灭的灯插空到10盏打开的灯形成的11个空,10盏熄灭的灯插空共有C(11,10)=11,故共有=11(种)。故选择C。
三、分析对立面
某交警大队的16名民警中,男性为10人,先要选4人进行夜间巡逻工作,要求男性民警不得少于2名。问有多少种选人方法?
A、1605
B、1520
C、1071
D、930
解析:16名民警选取4名,总的情况有C(16,4)种;男性不少于2名,分析对立面,男性少于2名,则为1名或者没有,则共有C(10,1)C(6,3)+C(6,4)种情况。故答案为C(16,4)-C(10,1)C(6,3)+C(6,4)=1605。
四、平均分组倍除法
将十名运动员平均分成两组进行对抗赛,有多少种分法?() A.120 B.126 C.240 D.252
解析:具体为平均分成两组,则有C(10,5)=252,然而由于是平均分,里面有一半是重合的,所以除以二,为126。
对于平均分配问题,特别注意需要进行倍除,分均分成多少组,就是需要在全部情况除以多少。
五、环形排列
将6名小朋友排成一圈做游戏,小花必须和小明相邻,则共有多少种方法?() A.72 B.68 C.56 D.48
解析:由于题目中是排成一圈做游戏,所以首先捆绑小花和小明,其次是对于剩余4人进行排列共有A(4,4)=24种,然后小花和小明内部有两种。故共有24×2=48种。答案为D。
本题目由于是环形,所以只考虑相对位置,小花和小明的捆绑整体位置不需要参与排列,因为其他人位置在变化,所以他两身边的人在变化,相当于他两也在变化。
六、反向分析法
将5个不同颜色的锦囊放入4个不同的锦盒里,如果允许锦盒是空的,则所有可能的放置方法有()
选项
解析:分析锦囊放到盒子,考虑盒子的情况,就会特别复杂,那么就反向思考,考虑每一个锦囊,对应会放到哪个盒子,就会变得简单。考虑每一个锦囊,则有4种放法,分别为放到4个盒子里,所以共5个精囊,共有4×4×4×4×4种。
七、插板法
某城市一条道路上有4个十字路口,每个十字路口至少有一名交通协管员,现将8个协管员名额分配到这4个路口,则每个路口协管员名额的分配方案有:
A.35种
B.70种
C.96种
D.114种
解析:根据插板法的使用条件:将n个相同的元素分给m个组,每组至少得一个,总的分配方法为C(n-1,m-1)。此题符合插板法模型,直接套用公式C(7,3)=35。
【注意】插板法:将n个相同的元素分给m个组,每组至少得一个,总的分配方法为C(n-1,m-1),就是用(m-1)个挡板插入到n个元素形成的(n-1)个空中,将元素分成m组。
插空法和插板法区别:插空法本质是将特殊元素插入到其他元素形成的空中,空的数量不定,根据题目具体来定。插板法本质是对元素进行分组,挡板和空的数量固定,均为组数-1和元素数-1。
以上七种类型的题目呢,可以说是比较经典并且比较常见的。并且题目中出现的频率也比较高。排列组合的内容也是比较有难度的,主要是方法,不会方法就会很难,会了方法就一下子解决。所以要进行归纳总结,不然遇到了还是懵懂。
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