附加给向量的平行四边形法则是如此直观以至于我们不知道向量的由来。它可能出现在已经丢失的亚里士多德（公元前384-322）的研究工作中，并且出现在亚历山大的诗《the Mechanics of Heron》（苍鹭的力学，公元1世纪）中。它也是艾萨克·牛顿（1642-1727）的《Principia Mathematica》（数学原理，1687）的第一个定理。在这个定理中，牛顿扩展性的提到了现在认作的向量实体，例如速率，力等，但从没提到向量的概念。向量的系统性的学习和使用是在19世纪和20世纪初。

向量一词始于19世纪20年代，用于复数的几何表现。Caspar Wessel（1745-1818），Jean Robert Argand（1768-1822），Car Friedrich Gauss（高斯，1777-1855），还有至少一到两个其他人将复数想象成分布在二维平面中的点，也就是二维向量。数学家和科学家以不同的方式应用这些新的复数，比如高斯主要利用复数来证明基础代数理论（the Fundamental Theorem of Algebra，1799）。1837年，William Rowan Hamilton（哈密顿，1805-1865）展示了任意复数可以被看做实数的有序对(a, b)。这种想法是许多数学家，包括哈密顿自己，寻找一种方式来将二维“数字”扩展到三维空间的研究的一部分，但是没有人能够做到同时保留实数和复数的基本代数性质。

1827年，August Ferdinand Möbius（莫比乌斯）出版了一本小书《The Barycentric Calculus》（重心演算），在这本书里他介绍了用英文字母表示的有向线段，除了名字外这就是向量定义的全部内容！莫比乌斯在重心和射影几何的学习中，发展出了这些有向线段的运算，他对它们进行加法运算并且展示了如何用一个实数来与它们相乘。然而他的兴趣并不在于此，而且也没有人费心注意到这些计算的重要性。

哈密顿在经历一番挫折后，最终放弃了诸如三维空间"数字"的研究转而创造出了四维系统，他称之为四元数。摘自他自己的话：1843年10月16日，

事情发生在星期一，那是我在爱尔兰皇家科学院理事会的一天---我正走在去参加和主持，...，沿着皇家运河，突然一个想法出现在我的脑海中，我意识到它非常重要，我用小刀把它刻在了布鲁厄姆桥的一块石头上，现在我们经过这里的时候，还能看到这上面刻的公式。

哈密顿的公式是q = w + ix +jy +kz，w, x, y, z都是实数。哈密顿很快意识到他的公式包含两个不同的部分，第一项他称之为标量，“x, y, z是三个直角坐标分量，或者是投影在三个直角坐标轴上的量，他（指他自己）称之为三项式，也是它所表示的线，VECTOR。”哈密顿用他的基础公式，i^2 =j^2 = k^2 = -ijk = -1，来与四元数相乘，他马上发现乘积q1q2 = -q2q1，是不可交换的。

哈密顿在1835年被封为爵士，而在他发明四元数期间他也是一位在光学和理论物理学打下基础成果的知名科学家，所以四元数很快就被得到认可。他继而坚持在他余生的22年时间里促进四元数的发展和推广。他写了两本很详尽的书，《Lectures on Quaternions》（1853）和《Elements of Quaternions》（1866），不仅讲述了四元数代数，而且分析了四元数如何应用在几何当中。在某一时候，他说到，“我仍然很断定，这个发现对我来说，如同17世纪导数的发现一样，是19世纪中期很重要的一个发现。”他收了一个门徒，Peter Guthrie Tait（1831-1901），在19世纪50年代开始将四元数应用到电磁问题和物理学问题。到了19世纪下半叶，Tait对四元数的拥护在科学界产生了很强的反响，有积极的也有消极的。

在差不多与哈密顿发现四元数的同一时间里，Hermann Grassmann（1809-1877）著写了《The Calculus of Extension》（线性扩张论，1844），现今它的德语标题为人们熟知，Ausdehnungslehre。在1832年，Grassmann开始了“一项新的几何计算”的研究，作为他的潮汐理论的研究部分，并且他随后利用这些工具简化了两个经典工作的部分内容，Joseph Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813）的分析力学和Pierre Simon Laplace（拉普拉斯，1749-1827）的天体力学。在他的书《Ausdehnungslehre》中，首先，Grassmann将人们熟知的二维和三维的向量概念扩展到任意维度n，这大大扩展了空间的思想；其次，也是更广泛运用的，Grassmann过早地提出了后来的矩阵、线性代数、向量和张量分析。

不幸的是，《Ausdehnungslehre》有两大缺憾。首先，它是高度抽象的，缺乏解释性的例子，并且是使用过度复杂的符号等这样一种很模糊的方式来著写的，以至于即使莫比乌斯在对它进行很严谨的研究后还是不能完全理解它。其次，Grassmann只是一个没什么主要的科学荣誉的中学教师（相比于哈密顿）。然而即使他的成果绝大部分被忽略，Grassmann仍然在19世纪40年代和50年代通过将它们应用到电气力学和几何中的曲线、曲面来推广他的成果，但是总体上并没有成功。在1862年，Grassmann出版了有更多修订的第二版《Ausdehnungslehre》，但是对于那个时期的数学家来说仍然是过于模糊和抽象的，基本上这个版本跟第一个版本一样遭遇了失败。在他的余生中，他绕开数学转而在语音学和比较语言学的研究生涯中取得了第二个很大的成功。最终，在19世纪60年代末和70年代，《Ausdehnungslehre》开始慢慢被理解和认识，Grassmann开始在他的预言性的数学方面获得一些肯定。1878年，Grassmann死后的一年，第三版《Ausdehnungslehre》出版。

在19世纪中期，Benjamin Peirce（1809-1880）无疑是美利坚众合国最杰出的数学家，他认为哈密顿是“四元数的不朽的作者。”Peirce在1833年到1880年在哈弗大学任职数学和天文学的教授，并写下了著作《System of Analytical Mechanics》（分析力学系统，1855，第二版1872），在这本书中，令人惊讶的是，他并没有提到四元数。当然，Peirce在他的书《Linear Associative Algebra》（线性结合代数，1870）中详细阐述了他称为“精彩的代数空间”的四元数，这是一本纯抽象代数的书。据报道，四元数是Peirce很喜欢的学科，他的许多学生最终成为了数学家并且在这个学科上写了很多的书和论文。

James Clerk Maxwell（麦克斯韦，1832-1879）是一个具有洞察力和批判精神的四元数拥护者。他和Tait是苏格兰人，他们一起在爱丁堡和剑桥大学学习，而且他们在数理物理学有着共同的兴趣。在他称为“物理量的数学划分”中，他将物理量分成两类，标量和矢量。根据这个分类，他指出了使用四元数使由Lord Kelvin（Sir William Thomson，1824-1907）在热流动和静电力分布中发现的物理学的数学类比清晰化。他在他的论文尤其是有影响力的《Treatise on Electricitty and Magnetism》（电和磁的论述，1873）中，强调了他描述的“四元数想法或者是向量学说”作为一种“数学方法，一种思考的方式”的重要性。同时，他指出了四元数乘积的不均匀性，并提醒科学家们在涉及到它的三个矢量分量的细节时不要使用四元数方法。本质上，麦克斯韦是在暗示纯粹的向量分析。

William Kingdon Clifford（1845-1879）对Grassmann的《Ausdehnungslehre》表达了深深的敬佩，并更喜欢向量（他经常称之为“steps”）而非四元数。在他的《Elements of Dynamics》（动态元素，1878），Clifford把两四元数的乘积拆分成两个很不相同的向量乘积，他称之为数量积（现在也称为点乘）和向量积（现在也称为叉乘）。对于向量分析，他断言“我确信它的法则将对数学科学的未来产生广泛的影响。”尽管《Element of Dynamic》被认为是向量分析的首部教材，但是由于Clifford在很早就去世了，他没能有机会继续去研究这些想法。

现今据我们所知，向量代数和向量分析的发展第一次在J. Willard Gibbs（1839-1903）于耶鲁大学为他的学生所做的一系列的著名的笔记中显露出来。Gibbs是康涅狄格州的纽黑文本地人（他父亲也是耶鲁大学的教授），他主要的科学成就是物理学中的热力学。麦克斯韦非常支持Gibbs在热力学的成果，尤其是几何表现。Gibbs在读麦克斯韦的《Treatise on Electricity and Magnetism》时，书中向他介绍了四元数，他自己还研究了Grassmann的《Ausdehnungslehre》。他觉得向量将会是他在物理学的工作中一项有效的工具。所以在1881年，Gibbs开始私下为他的学生打印他在向量分析上的笔记，后来被广泛地分发给了美国、英国和欧洲的学者。现代向量分析英文版的第一本书是《Vector Analysis》（向量分析，1901），这本书里，Gibb带的最后一届的一个毕业生Edwin B. Wilson（1879-1964）收录了Gibbs的笔记。讽刺的是，Wilson并没有拿到哈弗大学的学士学位，他是在哈弗大学跟他的教授James Mills Peirce（1834-1906，Benjamin Peirce的一个儿子）学的四元数。Gibbs/Wilson的书在1960年重新印刷了平装版。Jean Frenet（1816-1890）对向量的现代理解和使用做出了其他的贡献。Frenet在1840年考入巴黎高等师范学校，然后在图卢兹学习并在这里于1847年完成了他的博士论文。这篇论文提出了空间曲线理论和弗莱纳公式（TNB标架，单位切向量T，单位法向量N，单位副法向量B）。Frenet只给出了6个公式而Serret给出了9个。Frenet于1852年在纯粹数学杂志上发表了这个成果。

在19世纪90年代和20世纪头10年里，当很多科学家和数学家在设计他们自己的向量方法时，Tait和其他一些人就嘲笑向量而为四元数辩护。Oliver Heaviside（1850-1925），一个深受麦克斯韦影响的自修的物理学家，在他发表的论文和《Electromagnetic Theory》(电磁理论，三卷，1893，1899,1912)中，抨击四元数而发展出了他自己的向量分析。Heaviside得到了Gibbs的笔记的副本并且高度赞扬它们。在麦克斯韦的电和磁的理论引进德国（1894）时，向量方法同时也被提倡并且德语版的向量分析的很多书籍也出现了。向量方法也被引进了意大利（1887,1888,1897），俄罗斯（1907）和荷兰（1903）。现在向量是很多物理学和应用数学的现代语言，而且他们也会继续保持着自身内在的数学特征。

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