向量概念的历史发展李 婷 （西安交通大学苏州附中 ２１５０２１）1 引 言向量理论有三条历史发展线索 ：力和速度的平行四边形法则的向量理论 、与位置几何有关的向量理论及源自复数几何表示的向量理论［１］．早在公元前 ４ 世纪 ，古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle ，３８４ － ３２２ BC）即知道两种速度的合速度满足平行四边形法则 ，数学家海伦（Heron）则给出了该法则的几何证明［２］．１７ 世纪 ，英国数学家牛顿（ Newton ，１６４３ －１７２７）在其《自然哲学的数学原理》中进一步将平行四边形法则推广到了力的情形［３］．１８ 世纪末 ，丹麦数学家韦塞尔（Wessel ，１７４５ －１８１８）给出了复数的几何表示以及有向线段的加法与乘法［４］．１８０６ 年 ，瑞士数学家阿尔冈（Argand ，１７６８ －１８２２）发表了复数几何表示的论文［５］，后来还创用了向量的符号 ．１８４３年 ，英国数学家哈密尔顿 （Hamilton ，１８０５ －１８６５）研究了空间中两点之间的位置关系［６］，他提出的“几何差”概念等价于我们今天的向量概念 ．《普通高中数学课程标准》强调 ，在引入向量概念时要呈现丰富的实际背景［７］．教师想知道的是 ：向量的实际背景仅仅是物理量的表示吗 ？ 为什么向量在物理上被称为矢量呢 ？ 教学实践表明 ，学生在学习向量概念时存在许多困惑 ，例如 ：向量是有向线段吗 ？ 为什么向量是自由的 ？ 物理上的矢量与数学上的向量是等价的吗 ？ 我们需要从向量概念的历史发展过程中寻找问题的答案 ．那么 ，向量概念在历史上经历了怎样的演变过程 ？其实际背景有哪些 ？ 向量概念的历史对今日课堂教学有何启示 ？ 本文将通过历史考察来回答上述问题 ．2 历史上向量概念的定义对 ６０ 种西方数学或物理学文献进行考察发现 ，向量概念的定义可分成四类 ，分别是 “基于物理量的定义”“基于有向线段的定义”“基于复数的定义”和“基于平移运动的定义” ，其中基于物理量的定义出现的频数最多 ，其次是有向线段 ．2 ．1 基于物理量的定义“基于物理量的定义”指的是以力 、位移 、速度等有方向的物理量为背景而产生的向量定义 ．这类定义最初的思想可以上溯到亚里士多德 ，即物理学科中的矢量 ．在物理情境下 ，向量有三个关键要素 ：大小 、方向和位置 ．以力为例 ，力的刻画必须要有作用点 、大小和方向 ．这类定义又可以分成三类 ．第一类定义相对于物理中的标量给出 ．例如 ，英国物理学家亥维赛德（Heaviside ，１８５０ －１９２５）于 １８８９ 年指出 ：“生活中两种不同的大小 ，像质量 、密度 、能量 、温度只具有代数意义上的大小 ，是标量意义上的大小 ．还有一些具有大小的量 ，如位移 、速度 、加速度 、力 、动力 、电流等 ，有大小也有方向 ，两者缺一不可 ，这些都是向量 ．”［８］第二类定义是在物理量的基础上 ，将向量定义为表示物理量的有向线段 ．例如 ，Palmer 将向量定义为“表示物理矢量的有向线段”［９］．此类定义强调有向线段是力的几何表征 ，力的方向用有向箭头表示 ，力的大小用有向线段的长度衡量 ，力的作用点就是有向线段的起点 ，这种表示力的线段就是向量 ．第三类定义是物理量的抽象 ．Coffin 在《向量分析》中给出的定义是 ：“向量是任何具有方向与大小的物理量的抽象结果” ．［１０］Coffin 意识到 ，向量是某类具有大小与方向特征的量的统称 ，仅限于物理量的抽象结果 ．2 ．2 基于有向线段的定义２０世纪２０ — ６０年代的数学文献中 ，基于有向线段的定义出现得比较多 ．考虑线段两个端点的有序性是有向线段产生的原因之一 ．Gibson 详细介绍了有向线段的概念 ：“A ，B 是一直线上的任意两点 ，在初等几何中 ，人们习惯将以 A ，B 为端点的线段记为 AB 或 BA ，不在乎字母书写的顺序 ．然而 ，当线段用来表示从点 A 到点 B 的轨迹或者从点 B 到点 A 的轨迹时 ，有必要区分线段AB 与线段 BA 的差别 ．此时 ，这种线段就叫有向线段（directed segment） 或向量（vector） 或移动（step） ，用字母的书写顺序来表示这种差别 ．因此 ，AB 表示点 A 到点 B 的向量 ，BA 表示点 B 到· ０ ５ · 中学数学月刊 ２０１９ 年第 ８ 期万方数据