“在数学和科学的某些分支领域，我们已经感受到了人类洞察力的黯然失色。有些定理尽管已被计算机证实，但没有人能理解相关证明过程。也就是说，定理是正确的，我们却不知道为什么。而这时候，机器也无法向人类做出解释。”

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有趣的微积分简史，不仅讲了微积分发展史上的重要人物，还讲了微积分思想的由来与发展演变。两者都是高等数学课堂上、教材上没讲过的内容，我估计当初学高等数学的同时看这本书，应该更容易理解微积分习题背后的逻辑与思想。

内容通俗易懂，估计学过高中数学就能看懂大部分内容。

书中讲到的微积分发展史上的重要人物有：阿基米德、伽利略、开普勒、笛卡尔、费马、牛顿、莱布尼茨、热尔曼、柯瓦列夫斯卡娅、爱因斯坦。

书中提到的趣事有：

费马业余研究数学，笛卡尔恶毒地诋毁费马；

莱布尼茨业余研究数学3年，数学造诣就超过了欧洲大陆的所有人；

热尔曼是女生，只能顶替一个男生的名字去交作业，直到被拉格朗日发现；高斯知道跟他通信讨论学术问题的热尔曼是女生，同样非常吃惊；

柯瓦列夫斯卡娅证明了根本没有能描述所有陀螺运动的特定类型的公式（时间的亚纯函数），她限定了微积分的适用范围，找到关于宇宙命运的公式也无望了。

总体评价4星，不错。

以下是书中一些内容的摘抄：

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引言

没有微积分，我们就不会拥有手机、计算机和微波炉，也不会拥有收音机、电视、为孕妇做的超声检查，以及为迷路的旅行者导航的GPS（全球定位系统）。我们更无法分裂原子、破解人类基因组或者将宇航员送上月球，甚至有可能无缘于《独立宣言》。

无论如何，一个神秘且不可思议的事实是，我们的宇宙遵循的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来。这类方程能描述某个事物在这一刻和在下一刻之间的差异，或者某个事物在这一点和在与该点无限接近的下一个点之间的差异。

但是，用语言来类比微积分的做法并不全面。微积分和其他数学形式一样，不仅是一种语言，还是一个非常强大的推理系统。依据某些规则进行各种符号运算，微积分可以帮助我们实现方程之间的转换。

微积分真正不同凡响和标新立异的做法在于，它把这种分而治之的策略发挥到了极致，也就是无穷的程度。它不是把一个大问题切分成有限的几小块，而是无休无止地切分下去，直到这个问题被切分成无穷多个最微小并且可以想象的部分。

第1章 无穷的故事

在操场上，它总是以嘲弄和抬杠的方式出现。“你是个混蛋！”“是啊，好吧，你是两倍的混蛋！”“你是无穷倍的混蛋！”“你是无穷加一倍的混蛋！”“那和无穷倍是一样的，你这个笨蛋！”

对于数字，我们仍有可能提出一些无用或无意义的简单问题，除数为0就是其中之一。这个问题的根源是无穷。除数为0会召唤出无穷，据说这和用通灵板从另一个世界召唤出灵魂的方式差不多。真是太危险了，千万别去尝试。

我们把G、ħ和c的测量值代入这个公式，可以算出普朗克长度约为10–35米，这是一个非常小的距离，相当于质子直径的1022分之一。普朗克时间是光经过这段距离所需的时间，大约是10–43秒。这两个尺度就是极限尺度，在它们之下空间和时间将不再有意义。

第2章 驾驭无穷的勇士

我想说的是，无论是在逻辑上还是在算术上，阿基米德计算π值的行为都堪称壮举。借助圆内接96边形和圆外接96边形，他最终证明π大于3+10/71而小于3+10/70。

尽管阿基米德因为轻率地使用了无穷而略感尴尬，但他勇敢地承认了这一点。任何想要测量曲线形状（边界长度、面积或者体积）的人，都必须尽力应对无穷小部分的无穷级数和的极限问题。

我们现在已经知道，阿基米德重写本最早发现于1899年，在君士坦丁堡的一个希腊东正教会图书馆里。在伯利恒附近的圣撒巴修道院的一本祈祷书里，它神不知鬼不觉地度过了文艺复兴和科学革命时期。它现在被保存在巴尔的摩的沃尔特艺术博物馆里，人们利用最新的成像技术对它进行了精心的修复和检查。

第3章 运动定律的探索之旅

他将这个实验反复做了许多次，有时是改变斜坡的倾角，有时是改变球滚过的距离。用伽利略自己的话说，他发现“一个物体从静止开始下落，在相等的时间间隔内，它依次经过的距离之比与从1开始的奇数之比相同”

我之所以做出这么详细的说明，是因为GPS是展现微积分的隐藏用途的典型例子。通常情况下，微积分都是在我们日常生活的背后默默地发挥着作用。就GPS而言，这个系统的几乎所有功能都取决于微积分。

开普勒的第一个伟大发现是，所有行星都在椭圆轨道上运行，这一次他的看法确实是正确的，而且无须修正。

第4章 微分学的黎明

第一个突破发生在1630年前后，两位（即将成为竞争对手的）法国数学家皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡儿分别将代数与几何学联系在一起。他们的研究工作开创了一个新的数学学科——解析几何，它的中央舞台就是让方程变得生动和具体的xy平面。

笛卡儿毫不留情地诋毁费马，并且在一定程度上成功地打压了费马，致使费马的著作延迟到1679年才正式出版。尽管费马的研究成果通过口口相传或信件副本的形式流传开来，但直到他去世很久之后才得到真正的欣赏。相比之下，笛卡儿获得了巨大的成功，他的《方法论》名声大噪，下一代人还从中学到了解析几何。即使到了今天，学生们仍然在学习笛卡儿坐标，尽管它是费马率先提出来的。

20年后，也就是1657年（笛卡儿已离世），一位名叫马林·库雷奥·德拉夏布里的同行请求费马再次讨论折射问题。这促使费马利用他对优化的认识，着手研究了这个问题。费马预感到光被优化了，更准确地说，他猜测光总是沿任意两点之间阻力最小的路径传播，换言之，光会沿着最快的路线行进。

第5章 微积分的十字路口

在这个意义上，对数用简单得多的加法问题取代了乘法问题。这就是人们发明对数的原因，它们极大地加快了计算速度。这类计算可以把艰巨的乘法问题、平方根和立方根等转化为加法问题，然后在对数表的帮助下得出答案。

指数函数可用于为越来越快的增长过程建模，而幂函数可用于为不太剧烈的增长方式建模。对数之所以有用，是因为它起到了跟起钉器一样的作用：撤销另一种工具的作用。具体来说，就是对数撤销了指数函数的作用，反之亦然。

尽管底数10在它的全盛时期曾大展拳脚，但在现代微积分中却很少用到，因为10已经被另一个看似深奥但其实远比它自然的底数取代了。这个底数被称作e，尽管它是一个接近2.718的数（我稍后会解释它从何而来），但它的数值无关紧要。关于e的很重要的一点是，以它为底的指数函数的增长速率恰好等于这个函数本身。我再说一遍。e^x的增长率就是e^x本身。

第6章 变化率和导数

这就是导数概念的作用，它将变化率定义为一个函数。即使变化率是多变的，导数也会给出某个点或某个时刻的变化率。

为了给后面的讨论做好准备，从一开始我们的头脑中就必须有一幅大图景。如图6–1所示，微积分有三大核心问题：1.正向问题：已知一条曲线，求它各处的斜率。2.反向问题：已知一条曲线各处的斜率，求这条曲线。3.面积问题：已知一条曲线，求曲线下方的面积。

这些现实世界中的波能让我们瞥见正弦波的一个不同寻常的性质：如果一个变量遵循完美的正弦波模式，那么它的变化率也是一个完美的正弦波，并且在时间上提前了1/4个周期

在自然界的其他地方也存在着类似的捕食者–被捕食者振动现象，比如，19世纪皮货贸易公司记录的加拿大野兔和山猫种群的每年波动情况（就像生物学领域中经常出现的情况一样，这些振动现象的真正原因无疑更加复杂）。

图6-14

第7章 隐秘的源泉

图7-6

牛顿的见解是，即使速度不是恒定的，面积和距离之间的这个等式也会一直成立。不管物体的运动有多么不规律，它的速度曲线下方累积到时间t的面积总会等于它在t小时后行驶的距离。这是基本定理的版本之一，它似乎容易得让人难以置信，但事实的确如此。

图7-7

就这样，年仅22岁的牛顿找到了通往圣杯的路径。通过将曲线转换成幂级数，他系统性地求解出它们的面积。考虑到他罗列在表格里的那些函数对，反向问题对幂函数来说简直是小菜一碟。因此，能用幂级数表示的任何曲线都是易于求解的。牛顿的算法可谓无比强大。

但我还要说，如果不是站在巨人的肩膀上，牛顿就不可能做到这一切。他统一、综合和归纳了伟大前辈的思想：他继承了阿基米德的无穷原则，他的切线知识来自费马，他使用的小数和变量分别来自印度数学和阿拉伯代数，他用方程表示xy平面上曲线的做法来自笛卡儿的著作，他对无穷的随心所欲的玩法、他的实验精神及他对猜想和归纳的开放性态度都来自沃利斯。他把所有这一切混搭在一起，创造出一种新事物——通用的幂级数法，直到今天我们在解决微积分问题时仍会用到它。

1665年夏天，剑桥大学出于防护的目的暂时关闭了校园，牛顿因此回到了他在林肯郡的家庭农舍。在接下来的两年里，他变成了世界上最棒的数学家。但是，发明现代微积分还不足以占据他的整个大脑。他发现了引力平方反比律并将其应用于月球，他发明了反射望远镜，他通过实验证明白光是由彩虹的7种颜色组成的。

第8章 思维的虚构产物

仅用了3年时间，莱布尼茨的数学造诣就超过了欧洲大陆上的所有人。他现在要做的就是弄清楚牛顿知道什么，以及隐瞒了什么。

1672-1676年，莱布尼茨创立了他自己的微积分。和牛顿一样，他发现和证明了基本定理，认识到它的重要性，并围绕它建立了一个算法体系。莱布尼茨写道，在基本定理的帮助下，他能够在“眨眼之间”推导出当时已知的关于求积法和切线的几乎所有定理，除了牛顿仍在隐藏的那些。

莱布尼茨身形瘦削，弯腰驼背，面色苍白，尽管他外表平平，但智力超群。在包括笛卡儿、伽利略、牛顿和巴赫在内的世纪天才中，他是最全能的一位。

何大一和佩雷尔森利用上面这个简单的方程，估算出一个极其重要的数字，那就是免疫系统每天清除的病毒颗粒数量为10亿个，而在此之前人们没有办法测量它。这个数字出人意料，也着实惊人。

第9章 宇宙的逻辑

通过将他的运动和引力定律假设成公理，并以微积分作为演绎工具，牛顿证明了开普勒的三大定律都符合逻辑必然性。伽利略的惯性定律、单摆的等时性、球滚下斜坡的奇数规则和抛体的抛物线拱也一样，它们都是平方反比定律和F=ma的推论。这种诉诸演绎推理的做法让牛顿的同事大为震惊，也在哲学基础上撼动了他们。

偏微分方程比常微分方程丰富得多，它们描述了连续系统的运动同时随空间和时间发生的变化，或者连续系统在两个或更多维度的空间中运动的变化情况。除了一碗逐渐冷却的汤之外，吊床下垂的形状也可以用这样的方程来描述，污染物在湖泊中的扩散或者战斗机机翼上方的气流亦如此。

不过，787客机最具创新性的地方或许体现在，它的设计中凝聚的数学与计算方面的远见卓识远超以往的任何机型。微积分和计算机为波音公司节省了大量时间，因为模拟一架新样机比制造一架新样机快得多。它们也为波音公司节省了大量资金，因为相比在过去几十年里价格不断飙升的风洞试验，计算机模拟要便宜得多。

第10章 波、微波炉和脑成像

热尔曼还以勒布朗先生的名义交作业，直到学校的一位老师——伟大的拉格朗日——注意到以往学业表现糟糕的勒布朗先生的成绩有了显著进步。拉格朗日要求和勒布朗见面，由此发现了热尔曼的真实身份，又惊又喜的拉格朗日收下了这个女学生。

当高斯知道自己一直在和一位女性通信时，他大吃一惊。鉴于她的见解之深刻，以及她必须忍受的所有偏见和障碍，高斯告诉热尔曼，“毫无疑问，你拥有最值得尊崇的勇气、卓越的才智和出类拔萃的天赋。”

在微积分、傅里叶分析、信号处理和计算机的帮助下，CT软件可以推断出X射线穿过的组织、器官或骨骼的性质，并生成这些身体部位的详细图像。

第11章 微积分的未来

我们可以大胆地假设，未来几年围绕微积分可能有几个重要趋势，包括：· 微积分在社会科学、音乐、艺术和人文领域的新应用；· 微积分在医学和生物学领域的持续应用；· 应对金融、经济和天气固有的随机性；· 微积分为大数据服务，反之亦然；· 非线性、混沌和复杂系统的持续挑战；· 微积分与计算机（包括人工智能）之间不断演化的合作关系；· 将微积分推广至量子领域。

她【柯瓦列夫斯卡娅】证明了不可能存在其他可解陀螺。她发现的正是最后一个，而余下的陀螺都是不可解的，这意味着它们的动力学问题也不可能用牛顿式公式来解决。这不是一个智力不足的问题，而只是证明了根本没有能描述所有陀螺运动的特定类型的公式（时间的亚纯函数）。就这样，她限定了微积分的适用范围。一个陀螺即可挑战拉普拉斯妖，从原则上说，找到关于宇宙命运的公式也无望了。

混沌系统在某个时间之前是完全可以预测的，这个时间被称为可预测性时界。在此之前，系统的确定性使其具有可预测性。根据计算，整个太阳系的可预测性时界约为400万年。对于比这短得多的时间，比如地球绕太阳一周所需的时间（一年），一切都会像时钟一样有规律地运转。

然而，尽管我们有一个可在高维空间中做数学运算的抽象系统，但数学家仍然很难让这些空间可视化。事实上，更坦白地讲，我们无法让它们可视化。我们的大脑根本做不到，我们也不具备那样的能力。

一个更大的难题是，我们甚至不知道其中一些系统是否包含类似于开普勒和伽利略发现的那些模式。神经细胞显然有，但经济或者社会呢？在许多领域，人类的理解仍然处于前伽利略或者前开普勒阶段。我们尚未找到模式，那么我们如何才能找到洞见这些模式的更深层次的理论呢？生物学、心理学和经济学都不是牛顿式的，它们甚至也不是伽利略式和开普勒式的。所以，我们还有很长的路要走。

但如果这类定律存在，而且“阿尔法无穷”能找到它们，那么对我们来说它就好比一个先知。我们将追随它，听从它。虽然我们不明白它为何总是正确的，甚至听不懂它在说什么，但我们可以通过实验或者观测去检验它的计算结果，并且发现它似乎无所不知。我们将变成既惊讶又困惑的旁观者。即使“阿尔法无穷”能自圆其说，我们也无法理解它的推理过程。在那一刻，至少对人类来说，始于牛顿的洞察力时代将会结束，而一个新的洞察力时代将会开启。

在数学和科学的某些分支领域，我们已经感受到了人类洞察力的黯然失色。有些定理尽管已被计算机证实，但没有人能理解相关证明过程。也就是说，定理是正确的，我们却不知道为什么。而这时候，机器也无法向人类做出解释。

结语

对我来说，最大的谜题是：为什么宇宙是可理解的，以及为什么微积分会与其步调一致？我不知道答案，但我希望你也认同这是一个值得深思熟虑的问题。

更重要的是，量子电动力学是有史以来最精确的理论。在计算机的帮助下，物理学家仍在忙着利用费曼图对量子电动力学中出现的级数求和，以预测电子和其他粒子的性质。通过对这些预测和极其精确的实验测量结果进行比较，他们已经证明这个理论与现实的吻合程度达到了小数点后8位，优于亿分之一。

在爱因斯坦的理论中，物质告诉时空该如何弯曲，曲率则告诉物质该如何移动。它们的共舞使广义相对论变成了非线性理论。

如果没有广义相对论的修正，GPS的误差将以每天10千米的速度不断累积，整个系统在几分钟之内就会失去导航价值。

全文完

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