圆锥曲线的历史、应用和启示 一圆锥曲线的研究历史 1圆锥面上的圆锥曲线 公元前 4 世纪后半期 由于战争希腊的文化中心从雅典东移到古老埃及的亚历山大城希腊、埃及两方文化结合更使希腊人的文学、艺术、哲学、自然科学取得了卓越的成就关于数学中圆锥曲线的研究也是在这个时期开始。 希腊人最先研究圆锥曲线 据传首先是为了解决当时的几何学与神学提出的所谓“德里问题”或“立方倍积问题”并在逐步探索认识和解决问题的过程中发展和深化了对圆锥曲线的了解。 所谓“德里问题”或“立方倍积问题” 是传说很久以前一次希腊德里群岛中一个名叫杰罗西岛的地方发生了瘟疫。岛上部落问自己的酋长怎样祈祷上帝才能免除这场灾难。 酋长说 要把祭祀上帝的立方体形祭坛重新砌造成一个更大的要求新砌的祭坛仍是立方体但体积要为原来祭坛体积的 2 倍。 即原立方体棱长为 a新立方体棱长 x得 。问题的实质就是如何根据 a 求作 x 。 不少的古希腊学者研究过这个问题 开始大多是企图通过尺规作图的方法来解决的也形成了多种方法这些方法都不是严格意义上的“尺规作图”。古希腊几何学家、天文学家梅内克缪斯(Menaechmus 前 375-前 325 年)的方法是用一个平面垂直于顶角分别是锐角、直角和钝角的圆锥的母线得到三种不同截线他把这三种截线分别叫做“锐角的”、“直角的”和“钝角的”圆锥截线即后来的椭圆、抛物线和一支等轴双曲线。

那么在“立方倍积问题”中如何作出x= 这一线段呢用现在的直角坐标方程的知识可知 它实际是两条抛物线 和两交点中非原点的那个交点的横坐标 而这两条抛物线梅内克缪斯在当时就是从圆锥截线得到。所以梅内克缪斯是系统研究圆锥曲线的第一人他最早给圆锥曲线以命名并利用抛物线满意地解决了“立方倍积问题”。 圆锥曲线就这样神奇地仿佛是无中生有地产生在圆锥曲面上。 2几何学里的圆锥曲线 在公元前 3 世纪前后最著名的希腊三大学者欧几里德Euclid 前 330 -前275 年 、 阿基米德 Archimedes 前 287-前 212 年 和阿波罗尼斯(Apollonius 前 262-前 200 年)都研究了圆锥曲线。欧几里德除了总结历史上几何学发展的成果把几何学条理化、系统化写成巨著《几何原本》一书外还著有《圆锥曲线论》等书可惜失传了。欧几里德在《几何原本》中给出了圆锥曲线统一定义即平面内一点 F 和一定直线 AB 从平面内动点 M 向 AB 引垂线 垂足为 C 若 MFMC 值一定则动点轨迹为圆锥曲线但他未证明。阿基米德则成功计算了抛物线弓形的面积发明了用同心辅助圆画椭圆的方法还提出了圆锥曲线的直径的