分类号：ｑＯｆｆ密级：硕士学位论文（同等学力申请硕士学位）指导教师丝：迓如盆垒合作导师训Ｂ年原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：关于学位论文使用授权的声明本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。（保密论文在解密后应遵守此规定）论文作者签名：导师签名：燃日期：山东大学硕士学位论文目录摘要｝……………………………………………………………………………………………………………。ＩＡＢＳＴＲＡＣＴ……………………………………………………………………………．．……………………．．ＩＩ第１章向量理论的产生与发展……………………………………………………。

４１．１早期物理学中物理量的向量特征……………………………………………．４１．２向量理论与位置几何…………………………………………………………．５１．２．１莱布尼兹位置几何的概念……………………………………………。５１．２．２格拉斯曼与《扩张论》………………………………………………一５１．３源自复数几何表示的向量理论………………………………………………．６１．３．１四元数理论的产生与发展………………………………………………７１．３．２吉布斯和《向量分析基础》……………………………………………８１．３．３亥维赛的向量理论………………………………………………………９第二章向量空间的公理化…………………………………………………………１２２．１向量空间的公理化介绍………………………………………………………１２２．２皮亚诺公理化方法……………………………………………………………１３２．３达布、舒马克的公理化方法…………………………………………………１６２．４外尔和有限维向量空间的公理化……………………………………………１７２．５维纳和赋范向量空间的公理化………………………………………………１８第三章向量空间理论的产生和发展…………………………………………………１９３．１关于向量空间…………………………………………………………………１９３．２向量空间的向量坐标与基底…………………………………………………２０３．３线性方程组与行列式理论的产生与发展……………………………………２ｌ３．３．１莱布尼兹求解线性方程组的思想方法………………………………２２３．３．２麦克劳林对线性方程组的研究………………………………………２２３．３．３克莱姆和克莱姆法则…………………………………………………２３３．３．４范得蒙的行列式理论…………………………………………………２４山东大学硕士学位论文３．３．５拉普拉斯、拉格朗日和贝祖对线性方程组和行列式理论研究……．２５３．３．６高斯消元法与二次型理论……………………………………………．２６３．３．７柯西与行列式理论……………………………………………………．２７３．４线性方程组与矩阵理论的产生和发展……………………………………一２８３．４．１矩阵理论的创立者——凯莱…………………………………………．２８３．４．２弗罗贝尼乌斯与现代矩阵理论………………………………………．３０第四章抽象空间的历史发展概况……………………………………………………３２４．１欧几里德空间…………………………………………………………………３２４．２维纳和赋范向量空间………………………………………………………．．３３４．３巴拿赫空间……………………………………………………………………３４４．４希尔伯特空间………………………………………………………………．．３５４，５黎曼空间……………………………………………………………………．．３６参考文献………………………………………………………………………………………………．３７致｛射…………………………………………………………………………………………………………３９山东大学硕士学位论文ＣＡＴＡＬｏＧＵＥＣｈｉｎｅｓｅＡｂｓｔｒａｃｔ………………………………………………………………………．ＩＥｎｇｌｉｓｈＡｂｓｔｒａｃｔ………………………………………………………………………．ＩＩＰｒｅｆａｃｅ……………………………………………………………………………．．１Ｃｈａｐｔｅｒ１Ｔｈｅｅｍｅｒｇｅｎｃｅｖｅｃｔｏｒｔｈｅｏｒｙ………………，４１．１Ｔｈｅｐｈｙｓｉｃａｌｖｅｃｔｏｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｅｅａｒｌｙｐｈｙｓｉｃｓ…………………………．．４１．２Ｖｅｃｔｏｒｔｈｅｏｒｙｐｏｓｉｔｉｏｎｇｅｏｍｅｔｒｙ……．…．．…．……．．……．．………．…１．３Ｆｒｏｍｃｏｍｐｌｅｘｇｅｏｍｅｔｒｉｃｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｖｅｃｔｏ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６Ｃｈａｐｔｅｒ２Ａｘｉｏｍａｔｉｚａｔｉｏｎｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ…．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．…．．．．．……．．１２２．１Ｔｈｅａｘｉｏｍａｔｉｚａｔｉｏｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ…………………………．１２２．２Ｐｅａｎｏ’Ｓａｘｉｏｍａｔｉｃｍｅｔｈｏｄｓ．…．．…．．．．．．。

……．．…．．．．．。．．．…．．．…．．．．．……．．１３２．３ＡｘｉｏｍａｔｉｃｍｅｔｈｏｄｓＳｃｈｕｍａｃｈｅｒ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．…．．．．．．１６２．４Ｗｅｙｌａｘｉｏｍａｔｉｚａｔｉｏｎｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ……………………．．１７２．５Ｗｉｅｎｅｒｎｏｒｍｅｄｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅａｘｉｏｍａｔｉ………．…………………………．１８Ｃｈａｐｔｅｒ３Ｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｔｈｅｏｒｙ．．．．．．．．．．………－．．．．．．．．．．１９３．１Ａｂｏｕｔｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ………………………………………………………………１９３．２Ｖｅｃｔｏｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｏｆｔｈｅｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ……………………．……………………．．２０３．３Ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ２１３．４Ｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｍａｔｒｉｘｔｈｅｏｒｙ．．．．．．．．２８Ｃｈａｐｔｅｒ４Ｔｈｅｈｉｓｔｏｒｉｃａｌｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｂｓｔｒａｃｔｓｐａｃｅｄ…………………… ３２４．１ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ…………………………………………………………．．３２ ４．２ Ｗｉｅｎｅｒ ｎｏｒｒｎｅｄｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ………………………………………………．．３３ ４．３ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ…………………………………………………………………… ３４ ４．４ Ｈｉｌｂｅｒｔ ｓｐａｃｅ…………………………………………………………………… ３５ ４．５ Ｒｉｅｍａｎｎｉａｎ ｓｐａｃｅ……………………………………………………………… ３６Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ……………………………………………………………………………．３７ Ｔｈａｎｋｓ………………………………………………………………………………．３９ 山东大学硕士学位论文 山东大学硕士学位论文 摘要 随着向量理论的发展，向量空间的产生、发展并日趋成熟也成为必然，并且 在此基础之上发展和形成了更多的抽象空间。

本文通过对国内外历史文献资料的 研究，从总体和概括的角度出发，对向量空间的历史发展进行了详细的介绍。主 要研究成果如下： 一、详细考察了向量理论的产生和发展。由向量理论的起源入手，文章分别 从“力和速度的平行四边形法则的向量理论”、“莱布尼兹位置几何的向量理论” 和“源自复数几何表示的向量理论”三方面进行了研究。重点介绍了现代意义下 向量理论产生发展的完整线索：复数的几何表示一哈密顿四元数创造一泰特对四 元数的发展一麦克斯韦的批判接受一吉布斯、亥维赛向量理论的创立。 二、深入论述了向量空间的公理化。阐述了公理化方法的历史由来和现实意 义，重点研究了皮亚诺对向量空间的公理化方法和历史过程，并简单介绍了达布、 舒马克、外尔、维纳等人在向量空间公理化方面的工作。 三、详细阐述了向量空间理论的产生和发展。由于线性方程组是线性空间中 的重要内容，而线性方程组的发展与行列式理论的发展史密不可分的，到了后期 矩阵理论的发展又极大程度上丰富了线性空间理论的内容，所以本章我们重点介 绍了线性方程组理论下的行列式和矩阵理论的发展，对于线性相关、无关、向量 组的基、矩阵的秩等概念融合在其中介绍。 四、考察了抽象空间的发展概况。

随着数学的发展和现实应用的需要，在向量 空间基础上数学家创造了更多的抽象空阆。本章主要介绍了被广泛应用的欧几里 得空间、内积空问、赋范向量空问、巴拿赫空间、希尔伯特空间等，并简单阐述 了这些空间之间的联系。 关键词：向量理论；向量空问；向量空间的公理化；格拉斯曼；皮亚诺；巴拿赫； 希尔伯特；抽象空间 山东大学硕士学位论文 ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｗｉｔｈ ｖｅｃｔｏｒｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ ｇｒａｄｕａｌ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｍａｔｕｒｉｎｇａｌｓｏ ｂｅｃｏｍｅ ａｎｅｃｅｓｓｉｔｙ．Ｏｎ ｂａｓｉｓ，ｍｏｒｅａｂｓｔｒａｃｔ ｓｐａｃｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｅｄ ｈｉｓｔｏｒｉｃａｌｄｏｃｕｍｅｎｔｓ ａｂｒｏａｄ，ｓｔａｒｔｉｎｇｆｒｏｍ ｄｅｔａｉｌｅｄｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｈｉｓｔｏｒｉｃａｌｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ．Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｌｌｏｗｓ：Ｉ。Ｄｅｔａｉｌｅｄ ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ ｖｅｃｔｏｒｔｈｅｏｒｙ ｏｒｉｇｉｎ，ｔｈｅｖｅｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｙ ｆｒｏｍ ｖｅｌｏｃｉｔｙｖｅｃｔｏｒ ｐａｒａｌｌｅｌｏｇｒａｍｌａｗ ｔｈｅｏｒｙｔｈｅ Ｌｅｉｂｎｉｚ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｖｅｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｙ ｆｒｏｍｐｌｕｒａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｈｒｅｅａｒｅａｓ．Ｆｏｃｕｓｅｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｃｌｕｅｓ Ｖｅｃｔｏｒ ｔｈｅｏｒｙ ｍｏｄｅｒｎｓｅｎｓｅ：Ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｓａｉｄ＿ Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ ｑｕａｔｅｍｉｏｎ ｃｒｅａｔｅ—ｊＴａｔｅ ｑｕａｔｅｒｏｉｏｎｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ—’Ｍａｘｗｅｌｌ ｃｒｉｔｉｃｉｓｍ ｆｏｒ一Ｇｉｂｂｓ，ｆｏｕｎｄｅｒ Ｈｅａｖｉｓｉｄｅｖｅｃｔｏｒ． ＩＩ．Ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ ｄｅｅｐｌｙ．Ｓｅｔ ｆｏｒｔｈ ａｘｉｏｍａｔｉｃｍｅｔｈｏｄ ｐｒａｃｔｉｃａｌｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ，ｆｏｃｕｓ Ｐｉａｎｏ’Ｓａｘｉｏｍａｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｈｉｓｔｏｒｉｃａｌｐｒｏｃｅｓｓ ｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ，Ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ＢａｒｂｏｕｒＳｃｈｕｍａｃｈｅＬＷｅｙｌ，Ｗｉｅｎｅｒ ｅｒｅ．ｉｎ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ ａｘｉｏｍａｔｉｃｂｒｉｅｆｌｙ． ＩＩＩ．Ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ ｔｈｅｏｒｙ ｄｅｔａｉｌ．Ｓｉｎｃｅ ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｎｔｅｎｔ ｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ，ａｎｄ ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎｅｘｔｒｉｃａｂｌｙｌｉｎｋｅｄ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ，ｍａｔｒｉｘｔｈｅｏｒｙ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｈａｓ ｇｒｅａｔｌｙ ｅｎｒｉｃｈｅｄ ｌｉｎｅａｒｓｐａｃｅ ｌａｔｅｒ，ＳＯ ｗｅ ｈｉ龇ｉｇｈｔ ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｍａｔｒｉｘｔｈｅｏｒｙｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ，ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｂａｓｅ ｖｅｃｔｏｒｇｒｏｕｐ， ｒａｎｋｏｆｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｆｕｓｉｏｎ．ＩＶ．Ｓｔｕｄｙ ａｂｓｔｒａｃｔｓｐａｃｅ’Ｓ ｏｖｅｒｖｉｅｗ．Ｗｉｔｈ ｒｅａｌ－ｗｏｒｌｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，‘ｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ ｃｒｅａｔｅ ｍｏｒｅ ｌｌ