（集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布012000）圆锥曲线是中学数学的重要内容从数学史的角度看圆锥曲线是在经历古希腊的古典时期、亚历山大前期、亚历山大后期到16世纪以后的整个历史时期而不断形成、发展和完善起来的。在教育形态上它是经过编者的精心选择和编排最终体现为一个完美的演绎系统。圆锥曲线的形成和发展历史过程对数学教学有重要启示。关键词圆锥曲线；形成；发展；数学教学；启示中图分类号O174文献标识码A文章编号：1673-260X（203）06-007-02Vol。29No。6Jun。203JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition第29圆锥曲线形成和发展的历史过程圆锥曲线是中学数学的重要内容，在教材中包括抛物线、椭圆、双曲线的共性，如：中心、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线、标准方程等和它们分别独具的特点。从数学史的角度看，圆锥曲线是在经历古希腊的古典时期、亚历山大前期、亚历山大后期到6世纪以后的整个历史时期而不断形成、发展和完善起来的。在教育形态上，经过编者的精心选择和编排，最终体现为一个完美的演绎系统。门奈赫莫斯首次发现圆锥曲线公元前4世纪，古希腊古典时期柏拉图学派的门奈赫莫斯（Menaechmus首先发现了圆锥曲线，他用平面去截圆锥曲面而得到的截痕。

在当时，圆锥曲面的形成是通过以直角三角形的一条直角边为轴旋转而成的，根据轴三角形顶角的不同将圆锥曲面分为锐角圆锥、钝角圆锥和直角圆锥。Menaechmus用垂直于一条母线的平面去截这三种圆锥面，得到三种不同的截痕。在锐角圆锥上的截痕是椭圆，钝角圆锥上的截痕是双曲线一支，直角圆锥上的截痕是抛物线。如下图，直角圆锥面ABC，过其母线AC上的任意一作垂直于AC的一个平面，得截平面DPGE。过截线上作一平行于圆锥底面的平面交母线于R、V两点，则RV是截面圆的直径,RV交PQ于O,连接PQ。由平面DEG平面ABC，平面PVR平面ABCPQ平面ABCPQRVRV是圆的直径根据射影定理有PO又因为DOV与ABC相似，所以有OVDOBCAB=RODOBCAB=DOROBCAB，由于对于特定的DROBCAB是常量，所以不妨设DOBCAB=bx。用现代解析几何解释为：曲线上任一点的纵坐标的平方等于其横坐标乘以一个常数，即为抛物线。同理，如果顶角是钝角或锐角，可以推出另外两种圆锥曲线的性质。阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究后来又有许多数学家研究这一课题。古希腊亚历山大前期的著名数学家阿波罗尼奥斯(Appolonius,公元前262前90年完成了他的《圆锥曲线论》（8大卷经典巨著。

他首创了只用一个圆锥面，就可以截得三种圆锥曲线，首先他改变了产生圆锥面的办法：给定一个圆及圆所在平面外一点V，联结V与圆周上的点并向两端延长。令这条直线沿着圆周移动，最后回到出发点，就形成圆锥曲面的两部分。固定叫做顶点，定圆叫做底面，点V与圆心的连成叫做轴。轴垂直于底面的圆锥是正圆锥，不垂直的是斜圆锥。当时，Appolonius还不知道坐标系，他首先通过平面去截圆锥的一腔形成椭圆，用类似于坐标系的方法求出来的椭圆方程y奥斯求出来的方程形式一样了。他通过改变平面去截圆锥面的角度，可得到另外两种截线。若截平面与底圆相交，而且和圆锥面的另一支也相交，便得到双曲线其方程为y若截平面平行于一条母线，则与底圆相交，但只与圆锥的一支相交，这时得到抛=px当时阿波罗尼斯已借助坐标来描述圆锥曲线，锥曲线的全部性质的研究达到了非解析几何意义下综合演绎几何学的最高峰。这三种圆锥曲线的命名源于阿罗尼斯分别叫做椭圆、双曲线、抛物线。他用统一的方式得到了三种圆锥曲线，既总结前人的工作，又进一步自己研究了许多性质。如中心、切线、焦点等形成了完美的圆锥曲线论。1。3帕波斯对圆锥曲线的研究公元4世纪亚历山大后期的著名数学家帕斯（Pap-pus公元300年—公元350年）在其名著《数学汇编》中研究了圆锥曲线及其性质。

1。3。1用不通过圆锥顶点V的平面去截一个直圆锥。个球面别放在截面的上方和下方和截相切于F引线段ABA、B分别为两球与圆锥面的切点。则由直线MA、MF与球面相切有MA=MF直线MB、MF数因此得出结论：椭圆是截面上所有点M的集合M称为椭圆的焦点。1。3。2若截面与圆锥的两腔相交即平行于圆锥面的两条母线确定的平面则得到的截线是双曲线两个球分放入圆锥的两腔中使它们分与截面相切于点F且它们分与圆锥面切于两个圆。在双曲线上任取一点M。同理可得MF=MB其中MB、V、A在一条母线上V=MA-MB=AB=常数。而AB的长是一定常数。于是得出结论：双曲线是点M的集合它的每个点与这平面上的两点的距离之差的绝对值是一个常数。为双曲线的焦点。1。3。3若截面与圆锥的一条母线平行与圆锥面的一腔相交截得的曲线称为抛物线。作一球面使它与圆锥相切于一个圆周与截面相切于点F在抛物线上任取一点M则MF=MA为圆锥面与球的切点）。球与圆锥面相切的圆所在的平面与截平面相交于一条直线。得出结论抛物线是动点M的集合M与这平面上一个定点F一定直线距离相等。点F叫做抛物线的焦点定直线叫做准椭圆与双曲线也有准线且各有两条准线这些准线是截面与两球面和圆锥相切的圆所在平面的交线。

通过焦点与准线可以得出三种圆锥曲线统一定义到定点F与到定直线的距离之比是一个非零常数的是椭圆e=1的是抛物线e1的是双曲线。准线在截面上F不在准线上。这就是帕波斯通过焦点与准线的观点给出的圆锥曲线的标准定义。1。416世纪以后圆锥曲线的发展16世纪科学史上与圆锥曲线有关的两项工作是1）开普勒发现行星按椭圆形轨道运行；2）伽俐略证明了不计阻力的斜抛运动轨迹是抛物线。这就说明了圆锥曲线并不是依附于圆锥之上的“静态曲线”而是有在于自然界的物体常见的运动形式为运用运动的观点来研究圆锥曲线问题做了重要准备。法国数学家费尔马引用斜角坐标研究圆锥曲线得出的结论圆锥曲线的方程都是含有两个未知数且最高次数为二次的方程。1637年笛卡儿创立解析几何其中的坐标法、平面上的点和实数x,y）一一对应“静的曲线是点运动的轨迹、代数方程可表示曲线等思想铺设了通往现代圆锥曲线理论的金光大。英国数学家沃利斯在《圆锥曲线论》一文中用关的二次方程来示圆锥曲线把圆锥曲线从圆锥面的截线中解脱出来成为一种平面曲线。1748年欧拉在《无穷小分析引论》一书中详细讨论了形如AxDX+EY+F=0的一般二次方程证明可以通过坐标的平移和转轴两种变换把任何一个二次方程化为9个标准型椭圆型、双曲线型、抛物线型）中的一个包括退化的圆锥曲线如圆等）这就是我们现在教材中出现的标准方程。

教学启示从上述圆锥曲线的形成和发展过程中我们可以看到它是经过几代数学家的坚持不懈地探索逐渐把古希腊学者对圆锥曲线深难懂的文字达变为通过坐标系和标准 方程这样简洁、清晰的示。 2。1 现行教科书中的圆锥曲线理论知识是经过了2000 年来一代代数学家孜孜不倦追求真理的结果多么地来之 不易呀！ 整个发展过程中蕴含的丰富思想和方法对我们现 代中学数学教学有着重要的借鉴作用。数学家的执著追求的 精神对中学生来讲也具有重要的教育意义。 2。2 数学教师不能只是一味地追求数学理论的严密性、系 统性而需收集整理数学史料不能仅局限于教材内容而 需重新审视、挖掘这些内容背后的历史弄清知识的来龙去 脉然后采取适当的方式融入到教学中。了解圆锥曲线统一 定义的由来有助于提高中学生的理解水平 使学生不会感 到突如其来、深难懂。 参考文献：〔1〕梁宗巨。世界数学通史[M]。沈阳：辽宁教育出版社，201。 〔2〕梁宗巨。数学历史典故[M]。沈阳：辽宁教育出版社，2。 〔3〕王树禾。数学思想史[M]。北京：国防工业出版社，23。 18