记北师版数学教材八上第一章第一节《探索勾股定理》

勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征。学生在七年级已经学习了任意三角形的三边关系，则这本课内容可以理解为教材由任意三角形向直角三角形、由特殊到一般的延伸。学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习的必要基础（如三角函数、平面解析几何中的两点间距离公式、无理数等内容）。

本课标题为《探索勾股定理》，重在“探索”，意在除定理本身之外，还应着重培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

一、教学目标：

1.经历发现、探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的各种探究方法以及内在联系，进一步发展空间观念和推理能力。

2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决简单的数学、实际问题。

二、教学重难点

重点：经历发现、探索、验证勾股定理的过程。

难点：用几何方法验证勾股定理。

三、教学流程

1.回顾旧知，发现问题

工具：刻度尺、圆规。

准备：每生在练习本上画三条线段，分别长：3㎝，4㎝，6㎝，用做线段中垂线的方法作出直角。

要求：

（1）利用已经画好的直角，作出一个两直角边分别为3㎝和4㎝的直角三角形

（2）利用已经画好的直角，作出一个一条直角边分别为3㎝, 斜边为6㎝直角三角形

（3）利用已经画好的直角，作出一个一条直角边为4㎝，斜边为六㎝的直角三角形

师：在画图的过程中，你发现了什么？

设计意图：

学生在七年级已经学会用尺规作一个三角形，具备了基本的作图能力。通过作图，大部分学生可以感受到：在直角三角形中，如果两边长度确定，那么第三边的长度也随即确定。直角三角形的三边之间存在着一种特定的数量关系。

2.提出问题，引发探究

师：我们已经感受到直角三角形三边之间存在着某种特殊的数量关系。那么具体是什么呢？想一想，我们已经学过三角形的三边之间什么关系？

学生很容易想到三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。然而这属于不等关系，学生在画图的过程中能够体会到，直角三角形中两边确定，第三边也随之确定，这种“定”是一种等量关系，换句话说，直角三角形三角形长度之间是可以用“＝”连接的。

此时，要求学生用刻度尺测量出三个直角三角形的三边长度，得到三组数据（结果有误差）。

预设生成：

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观察上面的三组数据，要从中找到一种等量关系、用运算符号和等号连接，并非易事。这时可从“等量关系”入手，分类进行讨论。

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通过计算、比较，得到a²+b²大约等于c²。然而这样的猜想推导并不能让人信服。原因在于——通过计算a²+b²约等于c²，我们想要得到的应当是一种确定的等量关系，而不是这种含糊不清的“约等”，加之测量线段时本身存在误差，所以亟待找出一种新方法。

观察a²+b²？c²，我们把测量-计算-比较的方法成为“代数法”，那么与之相对的便是“几何法”，怎样从几何的角度来探究呢？

再观察a²，从代数的角度讲它是字母a的二次方，从几何角度讲是什么呢？部分学生想到以a为边长的正方形的面积。同理b²，c²也可以分别理解为以b、c为边长的正方形面积。这样一来，用“数形结合”的思想就将问题就转化成了正方形A与正方形B的面积相加, 是否等于正方形C的面积的问题。

设计意图：从等量关系到二次等量关系，再到代数法探究，由“数形结合”引出几何方法探究。让学生充分的经历问题探究的过程，发现-猜想-验证-再验证，同时也是让学生重走发现勾股定理探索之路。事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理的价值，教学中不仅要让学生具有分析问题和解决问题的能力，还应让学生具备发现问题，提出问题的能力。

3.深入探究、得出结论

借助方格纸，验证猜想。

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方格纸的引入，目的在于方便学生求出正方形的面积。记一个小方格的面积为1,易得左图中正方形A面积为9, 正方形B面积为9。至于正方形C的面积，学生可能有两种方法：方法1.正方形C中完整的小正方形共有12个，剩下的小三角形两两一拼，恰好能拼得一个小正方形，12个小三角形可拼得6个小正方形，则正方形C的面积为12+6=18。方法2.连接正方形C的对角线，将大正方形c划分成两个或四个小三角形，再将三角形面积相加。这样，9+9=18，可得正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积。右图同理。

接下来，教材又给出了一组图形。

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引导学生找出图1-2与图1-3的不同。学生容易发现：图1-2中的三角形为等腰直角三角形，而图1-3中的直角三角形，两直角边不相等。接着教师可以再点拨：图1-2中的正方形C的对角线在网格线上，而图1-3中的正方形C并不具备上述特征。这一区别直接导致了图1-2中的正方形C面积比较好求，沿网格线直接分割即可。图1-3中的正方形C面积相对就困难一些了。

图1-2中的计算方法给我们一些启示：用网格线来分割，用横平竖直的边计算面积。因此想到用过图1-3中的正方形顶点的网格线来分割（如图）。

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分得的每个直角三角形的面积易求，四个直角三角形的面积相加，再加中间的小正方形面积，即可得到大正方形C的面积，显然该面积等于正方形A与正方形B的面积之和。右图同理。

通过以上过程可得：无论是等腰或是不等腰直角三角形，两直角边正方形面积之和，总等于斜边正方形面积。如果用字母a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则有a²+b²=c²。此时点出标题——《勾股定理》。板书勾股定理的文字表达。介绍“勾”“股”的含义，简介勾股定理的历史背景。之后画图，板书符号表述。强调符号表述中“∠C=90°”，根据这一条件可以判断出哪条边是斜边。

设计意图：作为《探索勾股定理》的第一课时，“方格纸”的引入在求正方形面积时起到了辅助作用，便于学生验证猜想，同时图1-3中的分割方法也为第二课时中的“弦图”作了铺垫。

4.学以致用，巩固提高

习题训练：

随堂练习1. 知识技能1.（规范书写）

数学理解3

课堂板书：

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