早在1900年代，人们就发现当他们学习数学时，他们不知道自己在学什么。当我们学习生物学时，我们正在研究存在于现实世界中的生物。当我们学习物理时，我们正在研究现实世界中的现象，并且我们可以通过实验来验证它。但是数学呢？它是研究现实世界的对象还是抽象实体？它是只存在于我们的脑海中还是存在于其他一些领域？

古希腊哲学家柏拉图认为，数学对象、形状、数字以及它们之间的关系，都属于他们自己的理想世界，与我们的世界不同，他称其为形式世界。但希尔伯特是近现代的人，柏拉图主义的观点对它来说过于神秘。希尔伯特对实际的问题感兴趣：什么能证明，什么不能证明？德国哲学家伊曼纽尔·康德提出另一个流行观点，数学是一种基于我们直觉的心理结构。但希尔伯特认为这也有问题，毕竟直觉常常会让我们误入歧途。

在其他学科中拥有多种观点并不少见。例如，文学因其能够对同一事物有多种解释而受到称赞，甚至物理定律也会随着时间的推移而被修改。但是对数学来说，这是行不通的，二加二等于四的事实永远不会被修改和改变。

不同的数学家对数学有不同的解释，除了让数学的声望受到质疑外，这些不同的观点也导致了实际问题的存在。那些同意直觉主义的人不相信无穷大的概念适合数学。那些认为逻辑是数学基础的人遇到了逻辑悖论和矛盾。我们不能让不同的数学家按照不同的规则来研究，这对希尔伯特来说是不可接受的，他打算对此做点什么。

他提出了一个雄心勃勃的计划：将所有数学公理化。希尔伯特认为，如果我们把数学当作一个形式系统，那么对于什么是允许的和不允许的，就不会有更多的分歧。

那么什么是形式系统呢？它由一堆形式符号组成，然后可以根据一组固定的规则进行操作。象棋就是一个形式系统，其中棋子就是形式符号，根据游戏规则进行移动。重要的是，棋子和规则在游戏之外没有任何意义。希尔伯特认为这就是我们看待数学的方式。

大约2000年前，欧几里得就做过类似的事情。通过提出五个公理以及一些规则，欧几里得几何体系就诞生了。有了这些公理，我们不需要知道三角形是在形式世界还是在我们的脑海中，就知道它的角度之和总是180度。所以通过这种方式，欧几里得几何就可以被视为一个形式系统。

希尔伯特想要做一些类似的事情，来找到可以建立形式系统的基本公理，这将消除关于什么是允许和不允许的任何分歧。首先，希尔伯特考虑了在数学基础系统中三个主要内容，即一致性、完整性和可判定性。

一致性意味着在系统中无法证明任何矛盾。例如，不能证明2+2=4并且2+2≠4，不一致会导致整个系统毫无用处。完整性意味着系统中存在的所有真实数学陈述都可以在系统内得到证明。最后是可判定性，应该存在一个有效的程序来确定任何数学陈述的真假。

年仅22岁的艾伦·图灵对最后一个内容——可判定性产生了浓厚的兴趣：是否存在确定任何数学陈述的真假的有效程序？在这里图灵发现了一个小问题，究竟什么是有效的程序？由于“有效程序”这个词太模糊了而无法做任何严格的定义，他决定自己定义它。

他的定义基于一台“人类计算机”。他认为“人类计算机”可以通过无意识地遵循一系列指令来完成的任何事情都是一种有效的程序。他考虑了“人类计算机”在计算时所做的基本动作：首先他们阅读指令 ，其次他们根据指令在一张纸上读写符号，然后他们偶尔会擦除符号并用新符号替换它们，最后当他们完成计算时就停止。

图灵意识到，“人类计算机”所做的每一步都可以被一台非常简单的理论机器复制。他构想出一种理论上的机器，可以执行与任何其他机器相同的任务。尽管这台理论机器非常简单，但它在原则上可以做“人类计算机”可以做的所有事情。这个抽象机器现在被称为图灵机，是对有效程序的定义。一个有效的程序是任何可以由图灵机在有限的时间内计算出来的东西。

这催生了整个计算机科学领域。图灵机是是现代计算机的蓝图，从台式机、笔记本电脑到智能手机再到空间站上的计算机，都基于图灵的模型。这些机器中的任何一个可以做的任何事情原则上都可以由图灵机完成。