来源：中国人民教育出版社网，作者：何烈云。

频率和周期（频率和周期的关系）

简谐运动在不考虑摩擦和其他阻力等因素的影响时，振动过程中系统的机械能守恒，所以不管是单摆还是弹簧振子在振动过程中振幅始终保持不变，这种振动称为无阻尼振动。然而，实际的振动总要受到阻力的影响，由于要克服阻力做功，振动系统的机械能不断减少。同时振动系统与周围介质相互作用，振动向外传播形成波，随着波的传播，系统的机械能不断减少，因此振幅也逐渐减小。这种振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动，阻尼振动的图象如图1所示。

图1

在这两方面一般会存在这样的疑问：

一、定性分析

要想知道阻尼振动是否具有“周期性”，首先要知道什么是机械振动的周期。定义是：物体完成一次全振动所需的时间，叫做振动的周期。在周期的定义中存在全振动这个概念，全振动是指做机械振动的物体从某个点出发，等到下次回到该点时的运动状态和开始振动时的运动状态完全相同，且所用时间最短。所以能重复原来的运动状态（位移、速度、加速度等）的机械振动才是全振动，非等幅的阻尼振动不是全振动，所以它是没有周期的。

关于阻尼振动是否具有“等时性”，有两种不同的说法：

二、定量分析

弹簧振子在油中或较粘稠的液体中的缓慢运动是阻尼振动的典型例子，如图2所示，由流体力学可知，弹簧振子在油中或较粘稠的液体中运动时所受阻力的大小和速度的大小成正比，由牛顿第二定律，得

图2

式中，Υ是阻尼系数。两边除以m，得

令

ω0为振动系统的固有圆频率；β为阻尼系数，和振动系统的性质以及介质的性质有关。于是，方程可写为

这里我们讨论的是阻力很小的欠阻尼状态的阻尼振动，即β＜ω0，由上式可求出弹簧振子中质点的运动学方程为

式中，A和a为待定常数，由初始条件决定。此式中包含两个因子，Ae-βt表示随时间衰减的振幅，cos(ωt＋a)表示振动以ω为圆频率周期地变化，二因子相乘表示质点做运动范围不断缩小的往复运动。由于质点的运动状态不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动。不过，cos(ωt＋a)是周期变化的，它保证了质点每连续两次通过平衡位置并沿相同方向运动的时间间隔是相同的，可见“等时性”具有非常严格的条件。而且由于

大于弹簧振子系统的固有周期T=2π/ω0，可见阻尼振动的节奏变慢了。

三、结论

比较由定性分析和定量分析得出的结论，阻尼振动不具有“周期性”的观点是相同的，但关于阻尼振动是否具有“等时性”的分析结果是不一样的。

只有通过定量分析的结论才是可靠的、正确的，仔细分析定性分析的两种说法中，推理都不严密并且是片面的，从而导致错误的结论。

综上所述，阻尼振动不是周期性运动，但是质点连续两次通过平衡位置并沿相同方向运动所需的时间间隔是相同的。讨论阻尼振动时不能照搬简谐运动的规律，也不能做简单的定性分析，必要时还要做定量分析，否则就容易得出错误的结论。

参考文献：

漆安慎，杜弹英。力学。北京：高等教育出版社，1997．280～281

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