八年级上学期数学，一次函数可与几何图形综合起来进行考查，线段最值问题也是比较难的题型之一，主要考查将军饮马模型，求解线段和差或周长最值问题，利用“垂线段最短”求解单独一条线段的最值。

一次函数平移规律（一次函数平移规律口诀）

利用将军饮马模型可求解PA+PB的最小值，一般点A，点B为定点，点P为动点，在某条直线上运动，可过任意一个定点作动点所在直线的对称点，然后将对称点与另外一个定点相连接，与直线的交点即为所求点P。

例题1：如图，将直线y=-x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，-4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，求点P的坐标

分析：先作点B关于x轴对称的点B，连接AB，交x轴于P，则点P即为所求，根据待定系数法求得平移后的直线为y=-x-2，进而得到点B的坐标以及点B的坐标，再根据待定系数法求得直线AB的解析式，即可得到点P的坐标．

本题属于最短路线问题，主要考查了一次函数图像与几何变换的运用，解决问题的关键是掌握：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

点到直线的距离，垂线段最短，由此可以求单条线段最值。

例题2：要在某河道建一座水泵站P，分别向河的同一侧甲村A和乙村B送水，经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A（1，-2），B（9，-6）.

（1）若要求水泵站P距离A村最近，则P的坐标为____________；

（2）若从节约经费考虑，水泵站P建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短？

（3）若水泵站P建在距离大桥O多远的地方，可使它到甲乙两村的距离相等？

解：（1）依数学原理“点到直线的距离，垂线段最短”，作AP⊥x轴于点P，即为所求，∵A点坐标为（1，-2），∴P点坐标为（1，0）；

（3）依“垂直平分线的性质”解题.

作线段AB的垂直平分线，交x轴于点P，此时PA=PB.依中点坐标公式可得线段AB的中点G的坐标为（5，-4）,由A、B两点坐标可得直线AB的表达式为y=-0.5x-1.5，∵PG⊥AB，∴设直线PG的表达式为y=2x+b，代入G点坐标，可得y=2x-14，当y=0时x=7，∴P点坐标为（7，0）.

本题一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，线段的垂直平分线，轴对称的作图方法．勾股定理，确定点P的位置是本题的关键．