山西师范大学硕士学位论文对数的发明及其相关历史分析姓名：****请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：**菊20120528论文题目：对数的发明及其相关历史分析业：基础数学硕士生陈少丽指导教师：**菊副教授签名：签名：摘要对数是初等数学的重要内容之一，它在数学史上有一定的地位和研究价值．本文在前人工作的基础上，通过对现有文献的解读和分析，对对数历史的发展过程进行了较为详细的探讨和研充主要工作如下：一、通过对阿基米德、斯蒂菲尔等科学家工作的分析和比较研究，发现他们的思想为对数的最终发明提供了一定的启迪和思考．二、深入探究了纳皮尔和比尔吉的工作．指出：纳皮尔是用几何的方法发明了对数，而比尔吉是用代数的方法发明了对数．同时，对他们的相关工作进行了比较分析．三、对布里格斯发明常用对数的过程进行了详细的阐述，并论述了常用对数在欧洲的发展及其影响．揭示了常用对数比纳皮尔的对数更加实用．四、论述了自然对数诞生的过程．分析了自然对数的几何模型及其底ｅ的伯努利模型，旨在使人们从本质上更深刻地了解它们，再现了常数ｅ在数学史上的重要地位．五、简要考察了复数的对数理论．澄清了莱布尼兹、伯努利和欧拉三人之间关于复数对数的争论．使人们对对数有了更进一步的理解和认识．Ｉ关键词ｌ对数常用对数自然对数复数【论文类型】基础数学Ｔｉｔｌｅ：ＩｎｖｅｎｔｉｏｎａｎｄＲｅｌｅＶａ砒Ｈｉｓｔｏ珂ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅＬｏｇａｒｉｔｈｍＭａｊｏｒ：ＰｕｒｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＮａｍｅ：ＣｈｅｎＳｈａｏｌｉＳｕｐｅｒＶｉｓｏｒ：ＰｒｏｆｅｓｓｏｒＹａｎｇＨａｏｊＶＡｂｓｔｒａｃｔＳｉｇｎａｔｕｒｅ：Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ：Ｉ刀ｇ撕ｔｈｍｏｎｅｏｆｔｈｅＩｎｏｓｔｉｍｐｏｒｔａｎｔｐａｒｔｅｌｅｍｅｎｔ舡ｙｍａｔｈｅｍａｔｉ镐，ｗｈｉｃｈｈａｓａｏｅｒｔａｉｎｓｔａｔｕｓ龃ｄｒｅ黝耽ｈｖａｌｕｅｉｎｔｈｅｈｉｓｔｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃ８．Ｂａ船ｄｏｎｔｈｅｐｒｅｖｉｏｕｓｗｍ．ｋ髓ｄ耐ｓｔｉｎｇｌｉｔｅｒａｔｍ＿ｅ，ｔｌｌｉｓｐａｐｅｒ洲ｌｄｕｃｔｓａｍｏｒｅｄｅｔａｉｌｅｄｄ＿ｉｓｃｕ豁ｉｏｎ衄ｄｒｅｓｅａｒｃ：ｈｏｎｎ怆ｈｉｓｔ０搿ｏｆ１０９ａｒｉｔｈｍ．ＴｈｅｍａＬｉｎＷ（）ｒｌ【ｉｓ蠲￡Ｄｕ晒：ｎｉｓｔｌｙ＇ｔｈｒ０１ｌｇｈｔｈｅ衄ａｌｙｓｉｓ０ｆｒｅｌｅｖ锄ｔｗｏｒｋｃｏｎｄｕｃｔｅｄＡｒｃｂｊ砥ｄ铭缸ｄＳｔｉｆｅｌｅｔｃ，耽丘ｎｄｔｈａｔｔｈｅｉｒｔｈｏｕｇｈｔ８ｈａｅｐｒａ、，ｉｄｅｄｓｏｍｅｅｎｌｉ曲ｔｅｎｍｅｎｔ五Ｄｒｔｈｅ丘ｎａｌｉｎｖｅｎｔｉｏｎ０ｆ１０９撕ｔｈｍ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ＇ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｍ鹪ｔｈｅＷ０ｌｒｋ０ｆＮ印ｉｅｒ锄ｄＢｕｒ酉强ｄｐ曲吐ｓｏｕｔｔｈａｔｌｏｇａｒｉｔｈｍ硼ｉｎｖｅｎｔｅｄｂｙＮａｐｉ盱ｔｈｒｏｇｈｇ啪ｅｔｒｉｃＩｎｅｔｈｏｄｓ，ｗｈｉｌｅＢｕｒ舀锄ｐｌａｙｅｄａｌｇｅｂｒａｗａｙ．溅，ＡｍｐａｒａｔｉＶｅａ丑由ｓｉｓｉｓｍａｄｅａｂｏｕｔｔｈｅｉｒｒｅｋＶ龃ｔｗ饥ｋ．Ｔｈｉｒｄｌｙ＇ｔｈｉｓｐａｐｅｒｅｌａ：ｂｏｒａｔ笛Ｂｒｉｇｇｓ’ｓｉｎｙｅｎｔｉｏｎｐｒｏｃｅ蹈ｏｆｃｏｍｍ咂１０９ａｒｉｔｈｍ，出ｕｓｓ骼ｉｔ８ｄｅｖｅｌｏｐＩｎｅｎｔ鲫ｄｉｍｐ觚＝ｔｉｎ：Ｂｌｌｒｏｐｅ，８ｎｄｒｅ、，ｅａＬｌｔｈａｔｉｔｉｓｍｏｒｅｐｒ孙ｒｔｉｃａｌｔｈａｎＮａｐｉ盱’ｓｌｏ譬ｌｒｉｔｈｍ．ＦｂＩｕｒｔｈｌｙ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｓｔｈｅｂｉｒｔｈｏｆｎａｔｕｒａｌｌｏｇａｒｉｔｈ】皿ａｎｄａｎａｌｙ獬ｉｔｓｇ咖ｅｔｒｉｃｍｏｄｅｌ弱Ｗｅ：Ｕ弱Ｂｅｍｏｕｕｉｍｏｄｅｌａｔｔｈｅｂｏｔｔｏｍ０ｆｅ，ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｈｅｌｐｐｅｐｌｅｄｅ印ｅｒｕｎｄｅｒｓｔ锄ｄｉｎｇ０ｆｔｈｅｍ．ＡｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅｔｂｅｉＩＩｌｐｏｒｔａｎｃｅ０ｆｃ０璐ｔａｎｔｅｉｎｔｈｅｈｉｓｔｏＵｏｆｍ＆ｔｈｅｍａｔｉ髓ｉｓａｌｄｉｓｐｌａｙｅｄ．Ｌａｓｔｌｙ＇ｔｈ泌ｐ印盱ｂｒｉｅ妇ｙｅＸｐｌｏｒ锱ｔｈｅｌｏｇａ西ｔｈｌｎｉｃｔｈｅ０Ｖ０ｆｐｌｕＩ试觚ｄｃ：ｌａｌ矩嚣ｔｈｅｄ争ｂａｔ伪ａｂｏｕｔｐｌｌｌｒｄｌｏｇａｒｉｔｈｉｃ锄ｏｎｇ１ｅｉｂｎｉｚ＇ｂ锄ｏｕｌｌｉａｎｄｅｌｌｌｅｒ．ｓ０也ａｔｐｅｐＩｅｃａｎ缸ｒｔｈｅｒｕｎｄＩｅｒｓｔ姐ｄｌｏｇａｒｉｔｌｕｎ．【ＫｅｙＷｂｒｄｓ】ｌｏｇａ西ｔｈｍ，ｃｏｍｍｏｎｌｏｇａｒｉｔｈｍ，ｎａｔｕｒａｌ１０９ａｒｉｔｈｍ，ｐｌｌｌｒ蛆【吣ｒｐｅｏｆＴｈ鹤ｉｓ】ＰｕｒｅＭａｔｈｅｍａｔ池绪论１研究背景１６世纪至１７世纪初，各领域的科学知识都有了急速地发展．然而，这些科学发展也带来了庞大的数学计算需求．纳皮尔（ｚ倒％１５５０—１６１７）花费了２０多年的时间，发明了“对数＂这一抽象的数学概念．从数学的角度看，对数的发明在当时影响深远，天文学家兼数学家的拉普拉斯（Ｌ口ｐｌ口，１７４９—１８２７）满腔热情地称赞这是一项“使天文学家寿命倍增”的发明．当第一张对数表问世后，伽利略（ＧｃＬＩ祝ｅＤＧ０ｚ乱瓯１５６４—１６４２）甚至说：“给我一个空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙．＂数学知识的生成在历史上有一定的顺序，逻辑上的建构也有一定的方式．对数作为高中数学的重要内容之一，在数学上有极高的地位和价值，但对数内容的教学，一直都是课堂上的一个难点，现行教材中知识的呈现有个逐渐展开的顺序问题，学生接受新知识的能力要求教学内容以更加合理的方式组织．历史能告诉人们什么是真实、实用．然而，目前仍没有一篇关于对数历史的完整的文章．在这种情况下，本文选择对数历史研究作为研究对象，在本文中，作者对对数的发展史做了系统的回顾，勾画了对数历史发展的清晰脉络，以期让学生在了解对数知识形成的历史发展过程的同时，进一步深化对对数知识的认知，也为中学教师在教学时提供一些参考资料，同时揭示了对数在历史上的重要地位．２研究现状从整体上看，国内外关于对数历史研究的文献并不多见，大部分来自于一些有影响的著作中．在国外，具有代表性的是莫里斯．克莱因（ＭＤｒ川ｓ．Ｋ２饥ｅ）在《古今数学思想》【１】一书中，介绍了纳皮尔利用几何的方法独立发明了对数，还阐述了复数的对数从引出到发展的过程，同时也提到了比尔吉和布里格斯的工作，但忽视了他们所用方法的主要内容．【美］日．伊夫斯（日Ｄ硼口，＿ｄＥｔ，ｅｓ）在《数学史概论》【１１】一书中详细介绍了纳皮尔一生的经历以及他在数学上作出的所有贡献，并且介绍了约翰．维尔纳的工作，他的工作为纳皮尔发明对数提供了前提条件，还说明了对数在数学历史上的重要地位．除此之外，其他关于对数历史的研究都比较零散的分布在史书资料中．在国内，具有代表性的是李文林研究员在《数学史概论》１２ｌ一书中，概述了对数被发明的方法，但没有进行具体阐述．汪晓勤在《中学数学中的数学史》１８】一书中阐述了在对数被独立发明前科学家们所作出的工作，也详尽地阐述了纳皮尔和比尔吉发明对数的主要 方法，并阐述了常用对数表的造表者．梁洪亮的《数ｅ简介》【１８１、李忠的《数ｅ来龙去脉》【１９】、 桂德怀的《数ｅ探源》例分别介绍了自然对数的底ｅ的性质、模型及意义，体现了自然对数 山西师范大学学位论文对数学发展的推进作用．剧ｉＭ凹Ｄ《ｅ的故事》１１２】更是从整体上阐述了纳皮尔一生的经历 和发明对数的方法，并介绍了数ｅ的发现过程和其的相关性质． 另外，杜瑞芝《数学史辞典》１２ｌ】，（美）卡茨（矿ｚＫ耐ｚ）《数学史通论》【２３１，李文林《数学 珍宝》【２２１，吴文俊《世界著名数学家传记》【１０１，张顺燕《数学的源与流》ｆｌ７】等都涉及了对数 历史的相关内容． 以上是关于对数历史研究的基本状况．本文在前人研究的基础上，从整体和概括的角 度出发，对对数的历史做了综合性地考证，勾画了对数历史发展的清晰脉络，突出了对数 在数学史上的重要性，同时，再现了伟人们的贡献，使人们更深刻地把握和理解其中所蕴 含的数学思想． ３本文的主要内容与结构 按照对数的发展过程和时间顺序，本文共分为六章． 绪论主要介绍了对数的研究背景、研究现状和本文的主要结构．第一章介绍了对数在被发明以前科学家们对对数思想的认知． 第二章 阐述了纳皮尔和比尔吉各自发明对数的思想和造对数表的方法，揭示了他 们的突出贡献． 第三章阐述了常用对数的出现和布里格斯造常用对数表的方法以及对数在欧洲的 传播和影响． 第四章介绍了自然对数和其底数的几何模型和伯努利模型，以及它们在微积分发展中的重要意义． 第一章对数思想的孕育尽管对数的发明是１７世纪的事情，但实际上在纳皮尔发明对数之前，对对数的探索就 早已开始了．对数的现代定义是在１８世纪之后由欧拉（Ｅｕ２ｅｒ，１７０７—１７８３）给出的：设口是一 个固定的数（口＞１），如果口：＝，则称指数ｚ是的对数．记作ｚ＝ｌｏｇ耖．这个定义除了底数 的取值范围外，与今天的定义相同；从欧拉的定义可以看出，对数不过是一个幂的指数．正 如这个定义所暗示的那样，对数的历史与乘方或指数问题是密不可分的． 对数的基本思想可以追溯到古希腊时代，早在公元前５００年，阿基米德（Ａｒ娩ｉ竹记ｄｅｓ，公 元前２８７－公元前２１２年）就研究过几个１０的连乘积与１０的个数之间的关系，用现在的表达形 式来说，就是研究了这样两个数列： １，１０，１０２，１０３，１０４，１０５…… 他发现了它们之间有某种对应关系，利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系，阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续 下去，失去了对数破土而出的机会． 而早在巴比伦的泥版上就有给定数的乘方表，类似于我们今天的反对数表．约公元 前１７００年的巴比伦泥版上就有相当于求解指数方程１．铲＝２的复利问题．１４、１５世纪，类似 的问题也出现于一些欧洲的数学著作中．１５世纪法国数学家休盖在其《算术三部中》就有 相当于解指数方程（盖严＝；的问题． 众所周知，对数的基本运算法则之一一一因子乘积的对数等于因子对数的和，等价于 我们今天熟悉的同底数幂相乘的法则：扩扩＝口ｍ佃．这个法则已被古希腊阿基米德所知 晓，它可由等差数列和等比数列的对应关系得到．例如，考虑两个数列： ２０，２１，２２，２３，２４，２５，２６，２７，２８……显然我们有２３．２４＝２７，另外我们还有 （２２）３＝２６，２７２３＝２４，（２４）壶＝２２ 这些也都对应了对数的基本运算法则． １５世纪法国数学家休盖在书中列出的等差数列和等比数列如下： ４……２０体盖还给出了等比数列的项的基本关系： ２ｍ２ｎ＝２ｍ＋ｎ， １６世纪德国数学家施雷伯在他的《艺术新著》中列出：ｌ，２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，……，６５５３６ 并给出了四种计算法则： （１）求平方数的平方根 ２５６（２）从成比例的数构造矩形数 （３）求立方根 （４）分解“体＂数 ６４１０ １０２４ ８：２＝４ 以丽：１６ ３＋４ ８１６ ６：３＝２ ２＋３＋５４８３２ 施雷伯还给出了一张除法表（如下图所示），其中第一行是被除数，相当于ｚ，ｚ２，…，ｚ８；第 ＿－列是除数，等＜ｎ）表示等． 对数思想的孕育 １ｎ ５ａ６ｎ ７０ ２ｎ ｌｄ ３Ｑ４０ ４ｎ４ｄ ５ｎ １ｎ ４ａＮｌ口 ２ｎ ３０ ５０ ５０Ｎ１ｎ ２ｎ ４０５ｄ ７４７０