说到数列，我想大家都已经知道了什么是数列，从高中就已经接触到了，当然了，高中对数列的认识并没有那么深，今天我们从数列极限开始，逐步更加深入的了解一下数列。

数列发散（数列发散则它的所有子列都发散）

数列极限定义：

设{Xn}为一数列，如果存在一个实数a，对于?ε>0，?N∈N+，使得当n＞N时，有|Xn-a|＜ε，那么就称为数列{Xn}收敛于a，实数a称为数列{Xn}的极限，如果实数a不存在，就称数列发散。

有了数列极限的定义，我们很容易得到下面的3个结论：

①、收敛数列的极限必定唯一。

②、收敛数列必定有界。

③、设数列{Xn}，{Yn}是两个收敛数列，若{Xn}收敛于a，{Yn}收敛于b，且a＜b，那么?N∈N+，当n＞N时，就有Xn＜Yn。

关于上面结论很容易证明，下面我们将简单证明一下。

证明①：

我们设数列{Xn}有两个极限，分别为a、b，并设a＜b，并取ε＝(b-a)/2，根据数列极限定义我们分别得到?N∈N+，当n＞N时，有|Xn-a|＜ε＝(b-a)/2。同样也能得到，?N∈N+，当n＞N时，有|Xn-b|＜ε＝(b-a)/2，我们取n＞max{N，N}时，就得到上面都成立，这样我们就会分别得到Xn＜(b+a)/2与Xn＞(b+a)/2，然而这是不可能的，因此可得a=b。

证明②：

设数列{Xn}收敛于a，并取ε=1，那么根据数列极限定义，有?N∈N+，当n＞N时，就有|Xn-a|＜1，得到a-1＜Xn＜a+1，而对于前面有限项，必有最大项于最小项，因此由上面的讨论知，存在正数M，使得对于任意的n，有|Xn|＜M，因此数列有界。

证明③：

取ε＝(b-a)/2，根据数列极限定义我们分别得到?N∈N+，当n＞N时，有|Xn-a|＜ε＝(b-a)/2。同样也能得到，?N∈N+，当n＞N时，有|Yn-b|＜ε＝(b-a)/2，我们取N=max{N，N}时，就得到上面都成立，这样我们就得到当n＞N时，就有Xn＜(b+a)/2与Yn＞(b+a)/2，即得证。

由上面的结论③我们还可以推得常用的性质，把上面③的数列{Xn}与{Yn}分别当做常数数列0，例如，把数列{Xn}作为常数项0数列时，我们得到，设{Yn}收敛于b，且0＜b，那么?N∈N+，当n＞N时，就有Yn＞0。

当然了，我们由③还能得到夹逼定理。

夹逼定理：

设有三个数列{Xn}、{Yn}、{Zn}，?N∈N+，当n＞N时，成立Xn≤Yn≤Zn，且数列{Xn}、{Zn}都收敛于a，那么数列{Yn}也收敛于a。

这个定理的证明只需要上面的结论③就可以证明，读到此处的读者可以自己证明一下。

有了数列的这些性质，我们下面将介绍闭区间套定理以及有限覆盖定理。希望感兴趣的可以关注一下哦。