我来讲下自己的感受吧，不请自来（好了，我数学不是很好，我写这些是给自己看的，也算是回答了提问者的问题吧。高手轻喷）

关于对数的这个问题，我是在看高等数学的时候遇到的这个问题，其实也是一直不是很理解的地方的。

那么，乐经良老师讲的是取对数的方法证明这个右边的不等式，然后强调了一下必须取一个单调增的对数。

讲到这里，方法很常见，但是其实我就很懵逼，为什么会有取对数的操作。

仔细想想，一个a|q|^n 小于的 \varepsilon 的n，然后看着图像让他满足就可以了。

可以说，我的这个方法是没问题的，而且是放之四海而皆准的，所有我一直在用。但是我觉得我不能回避我疑惑的地方。那就是，取对数到底是啥意思。

=================================================

我仔细思考了一下。我使用了除法运算来进行对比思考。以，8

对于8

我们在说不变号的时候，指的是这个不等式是恒成立的。也就是说，我进行的是对一个不等式的恒成立的变换。用我自己的话说，就像我学习编程一样，我操作的是一个表达式，是一个“不等式”对象，而不是8和16这两个值。

所以，我进行某种预算的时候（比如除法运算）实际上是对这个不等式进操作的，而不是8和16。我觉得 我的这个理解很废话，很傻逼。但是这个是我的一个体会，我就写出来（可能我数学不太好吧）

然后，我们在进行除法运算的时候，除以正数这个不等式是不变号的，但是除以负数的话，就变号了。这个现象很浅显，很明白，规则就是这么给的。我是这么理解的：当我们除以2的时候，实际上从函数赋值的角度出发，实际上是在 y = \frac{x}{2} 上代入数值。因为图像显示这个函数是一个单调增的图像，所以当 x_{1}=8 和 x_{2}=16 放到这个函数的时候，实际上由单调性可以得出 y_{1} 的结论的——也即为 8 。

因此，在我现在看来，乐经良教授指出的“必须找个单调增的对数这句话”意义就在于这里，是从函数的动态的观点出发的——或者说是对不等式/等式的变换的高层次的理解吧。

好了，现在运算的问题解决一半了，现在回到对数是什么找个问题来。

首先，在上述对不等式8

然后，我观察16这个数，它可以是2的4次方，可以是4的2次方，而且它可以是256的0.5次方。就像我在看16这个是，可以是4乘以4组成，可以是2乘以8组成等——这是乘法运算。

所以意义就很明显了，对16而言，我们进行除法操作是在找到一种乘法组合—— x*y=16 。而对8

我们都学过，幂运算可以看成是乘法运算的“高级运算”，那么相应的，乘法的逆运算（除法）对应的“高级运算”就是“取对数”运算（也即为，幂运算的逆运算）。而我们在取对数的时候指定的底，就是在像上面对8

最后回到乐经良老师对这个不等式的说明来，（使用除法运算来类比），找到单调增的对数来完成取对数的操作的意义就是让不等式不变号（就像8

所以这个不等式的解法，可以从：取对数运算，指数函数和上面的对数恒等式的三个角度进行理解。这就是我自己对我自己遇到的问题的解答。

因此，回到我刚刚类比8就联想到是在进行除法运算，哈哈哈哈，底就是这个分母！！

=================================================

因此我的对于对数的理解就是：

1，取对数就是一种高级的除法。

2.而谈到对数的时候必须指定一个底，（比如16的对数在不指定底的时候多了去了。。。。。）这就像问16的因子（指的是小学的除法方法的那个竖横线计算出来的外面的数，见下图），所以对数就像其中一个因子一样（或者说是分子）不指定分子有很多的大哥！！！

我的意思就是，不讲底数谈对数就是耍流氓（概念不清）。

综上，理解对数就是：取对数是“运算”，对数本身可以理解为一个“分子”

好了，最后再强调一下，我数学不是很好，我写这些是给自己看的，也算是回答了提问者的问题吧。高手轻喷