一、绝对值

1.绝对值的概念：数轴上，表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

2.绝对值的符号：数a的绝对值记做“|a|”

相反数的定义（相反数的定义和性质）

3.绝对值的非负性：一个数的绝对值是非负数，记为|a|≥0

4.绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。

例题1：已知|x|=55，|y|=56，求x+y的值

【分析】|x|=55表示的意义为：点x到原点的距离是55，到原点距离是55的点应该有两个，分别在原点的左边和右边，因此x=±55.同理，y=±56.此时，求x+y的值就需要分情况讨论，总共有四种情况。

解：由题意得：x=±55，y=±56.

①当x=55，y=56时，x+y=111；②当x=55，y=-56时，x+y=-1；

③当x=-55，y=56时，x+y=1；④当x=-55，y=-56时，x+y=-111.

综上所述：x+y的值为±1或±111。

例题2：|x+1|+|y+2|=0，求x+y的值

【分析】根据绝对值的非负性，两个非负数加起来要等于0，说明两个数应该都等于0，即“0+0模型”。

解：由题意得：|x+1|=0，|y+2|=0，解得：x=-1，y=-2.∴x+y=-3

例题3：已知|x|=55，|y|=56，且|x-y|=y-x，求x+y的值

【分析】与例题1类似，本来本题需要分四种情况讨论，由|x-y|=y-x可知，x-y的绝对值是它的相反数，则x-y是非正数，即x-y≤0，所以x≤y，从而可以分情况讨论。

解：由题意得：x=±55，y=±56.∵|x-y|=y-x，∴x≤y

①当x=55，y=56时，x+y=111；②当x=-55，y=56时，x+y=1

综上所述：x+y的值为1或111.

二、相反数

1.相反数的概念：符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数

2.多重符号的化简：在不含绝对值的前提条件下：若一个正数前面有偶数个“-”号，其结果为正；若一个正数前面有奇数个“-”号，其结果为负。

3.互为相反数的两数特征：a+b=0

4.相反数常见表达形式：①a+b的相反数为-a-b;②a-b的相反数为-a+b或b-a；③-a+b的相反数为a-b;④-a-b的相反数为a+b.

例题4：若a与3a-4互为相反数，则a的值是多少？

【分析】利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为0求解。

解：由题意得：a+3a-4=0，解得：a=1

例题5：若a，b互为倒数，m，n互为相反数，x的绝对值为3，求4ab+2（m+n）+x的值

【分析】由a，b互为倒数，可知ab=1；由m，n互为相反数，可知m+n=0；由x的绝对值为3，可知x=±3.

解：当x=3时，原式=4×1+0+3=7；当x=-3时，原式=4×1+0-3=1；综上所述，代数式的值为1或7.

例题6：已知|x-8|与-5互为相反数，求x的值

【分析】互为相反数的两数和为0，即|x-8|=5.

解：由题意得：|x-8|=5，即x-8=±5，解得：x=3或13

这是绝对值与相反数的基础概念和性质，后续继续补充延伸知识点。