求不等方程的整数解

整数分为哪三类（整数分为哪三类六年级）

我们先来回顾下整除相关知识：

若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除”。a叫做b的约数（或因数），b叫做a的倍数。整除属于除尽的一种特殊情况。

①若b|a，c|a，且b和c互质，则bc|a。

②对任意非零整数a，±a|a=±1。

③若a|b，b|a，则|a|=|b|。

④如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。

⑤对任意整数a，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r带余除法定理，是整除理论的基础。

⑥若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，b的最大公因数。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素，也称互质。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

好，那我们回到问题。

1、显然全为0是方程的一组解：

2、那我讨论不为0时的情况：

分析，任意整数T按被3整除分为三类：

那对与T2：3*(3k2)，3(3k2±2k)+1，即任意整数平方之后，被3整除，只分为两类：

注意这点很重要。

那任意两数T1和T2平方之和，就会有四种情况产生就可以表示为：

由题目已知，

看出X2+y2等于3乘以一个整数，说明X2+y2能被3整除。那在刚才分析任意两数T1和T2平方之和，产生的四种情况中，仅有第一种情况才能满足两数平方之后还能被3整除。所以得到：

将此种情况代入到原不定方程中去得到：

化简得到：

发现没有，和原不等方程一样，只是左右两边调换了下，那我们重复之前的推导过程，肯定能得到：

也就是说，x，y，u，v四个变量，同时缩小3倍，得到和原不定方程一样的情况，即，当缩小N倍时，仍然成立如下：

这就存在矛盾了，当n趋于无穷大时，就得到四个全为0的解：

反推回去，那就只能是四个全为0是不定方程的唯一解。

答：解得，不定方程有唯一解：