在三国两晋南北朝时代，我国的数学科学已闪烁着耀眼的光芒，出现了历史上杰出的数学家刘徽和祖冲之。这两个不朽的人物为我国数学奠定了牢固的基础。

先说刘徽，他是三国时代魏国人。关于他的身世和生平事迹，由于资料有限，我们了解得很少。他的活动区域大致在山东半岛和江苏北部一带。

刘徽

刘徽自幼熟读《九章算术》，在魏陈留王景元四年(263)前后，为我国古代数学经典著作《九章算术》作注，做了许多创造性的数学理论工作，对我国古代数学体系的形成和发展影响很大，在数学史上占有突出的地位。

《九章算术》体现了中国古代自先秦到东汉以来的数学成就。但当时没有发明印书的方法。这样好的书也只能靠笔来抄写。

在辗转传抄的过程中，难免会出现很多的错误，加上原书中是以问题集的形式编成，文字过于简单，对解法的理论也没有科学的说明。这种状况明显地妨碍了数学科学的进一步发展。

刘徽为《九章算术》作注，在很大程度上弥补了这个重大的缺陷。在《九章算术注》中，他精辟地阐明了各种解题方法的道理，提出了简要的证明，指出个别解法的错误。

尤其可贵的是，他还做了许多创造性的工作，提出了不少远远超过原著的新理论。可以说，刘徽的数学理论工作为建立具有独特风格的我国古代数学科学的理论体系，打下了坚实的基础。

刘徽在《九章算术注》中，最主要的贡献是创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，开创了圆周率研究的新阶段。

圆周率即圆的周长和直径的比率，它是数学上的一个重要的数据，因此，推算出它的准确数值，在理论上和实践上都有重要的意义和贡献。

在世界数学史上，许多国家的数学家都曾经把圆周率作为重要研究课题，为求出它的精确数值作了很大努力。在某种意义上说，一个国家历史上圆周率精确数值的准确程度，可以衡量这个国家数学的发展情况。

《九章算术》原著中，沿用自古以来的数据，即所谓“径一周三”取π=3，这是很不精确的。到了后来，三国时期的王蕃(230～266)采用了3.1566，这虽然比“径一周三”有了进步，但仍不够精密，而且也没有理论根据。

怎样才能算出比较精密的圆周率呢?刘徽苦苦地思索着。

一天，刘徽信步走出门去，去大自然呼吸新鲜的空气。在他的眼前，群山绵绵不断地伸展开去，好像数学哲理似的奥妙莫测。

刘徽的思路仿佛进入群山的巍峨中，鉴证着大自然的不可思议的创造。刘徽抬眼望去，远处一个高耸入云的顶峰上，有一座小小的庙宇，他猜测着，数学的殿堂是不是也和这庙宇一样，风光而又曲折。

一阵叮叮当当的响声引起了刘徽的注意，他朝着响声走去，原来这是座石料加工场。这里的石匠师傅们正把方形的石头打凿成圆柱形的柱子。

圆的启发

刘徽颇感有趣，蹲在石匠师傅的身边认真地观看着。只见一块方石，经石匠师傅砍去四角，就变成一块八角形的石头，再去掉八角又变成十六角形，这样一凿一斧地干下去，一方形石料加工成光滑的圆柱了。

刘徽恍然大悟，马上跑回家去，认真地在地上比划着，原来方和圆是可以互相转化的。

他把一个圆周分成相等的6段，连接这些分点组成圆内正六边形，再将每一分弧二等分，又可得到圆内接正12边形，如此无穷尽地分割下去，就可得到一个与圆完全相合的正“多边形”。

刘徽由此指出：圆内接正多边形的面积小于圆面积，但“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。

这段话包含有初步的极限思想，思路非常明晰，为我国古代的圆周率计算确立了理论基础。

刘徽使用了这个方法，从圆内接正6边形算起，边数依次加倍至正192边形的面积，得到的圆周率π的近似值是157/50，这相当于π=3.14。

他还继续计算，直到求出了正3072边形的面积，进一步得到π的近似值是3927/1250，这相当于π=3.1416。

3.14和3.1416这两个数据的准确程度比较高，在当时世界上是很先进的数据。

刘徽还明确地概括了正负数的加减法则，提出了多元一次方程组的计算程序，论证了求最大公约数的原理，对最小公倍数的算法也有一定地研究。

这些都是富有创造性的成果，因此可以说，刘徽通过注解《九章算术》，丰富和完善了中国古代的数学科学体系，为后世的数学发展奠立了基础。

刘徽撰写的《重差》，原是《九章算术注》的第十卷，后来单独刊行，被称为《海岛算经》。这是一部说明各种高度或距离的测量和计算方法的著作，即关于几何测量方面的著作。

有一次，刘徽和朋友们到海边去散步，刘徽抬眼望去，那是一片伟丽而宁静的、碧蓝无边的海。它在眼光所及的远处，与淡蓝色的云天相连。

微风爱怜地抚摸着海的绸缎似的胸膛，太阳用自己的热烈的光线温暖着它。而海，在这些爱抚的温柔力量之下睡梦似的喘息着，使沸热的空气充满了蒸发的盐味。

淡绿的波浪跑到黄沙上来，抛掷着雪白的泡沫，吻着刘徽及朋友们的脚，刘徽心旷神怡，索性坐在沙滩上，让那微咸的海水润湿着裤脚。

这时，一个朋友指着茫茫大海中耸立着的一座孤岛问道：“谁知道小岛有多高?多远?”另一朋友想了想：“只要准备一只小船和足够的绳子，我就能量出小岛的距离和高度。”

众人哄地笑了起来，这得需要多少绳子，即使给你绳子，你也量不出小岛的距离和高度。因为绳子有伸缩性，而小岛有斜坡。再说，这办法也太笨了。

这时，刘徽在一旁沉默不语，有人请他发表意见。刘徽说：“我根本不需要到小岛去，只需两根竹竿，即可量出它的高和远。”

朋友们睁大双眼愣愣地望着刘徽。刘徽见朋友不相信他，便在海滩上画出图来，解释道：“在岸边垂直竖立两根一样长的杆子GH和EF，使它们与小岛AB位于同一方向上，然后分别在与两杆顶E、G与岛尖A成一直线的地面C和D点作记号便可以了。”

这样一来CF、DH、HF、EF的长度我们都可量出来，现在来算出岛的距离BF和岛的高度AB，刘徽算出的结果是：

AB=EF×HF/DH-CF+EF

BF=CF×HF/DH-CF

具体怎样计算，我们就不再一一赘述了，读者如有兴趣的话，不妨一试，来证明刘徽的公式。

刘徽在《九章算术注》的自序中说：“事类相类，各有攸归。故枝条虽分，而同本干者，知发其一端而已。”

刘徽的研究方法和研究成果对我国古代数学的发展产生了非常深刻的影响，为我国数学科学史增添了光辉的一页。

近年来，刘徽的《九章算术注》和《海岛算经》被翻译成许多国家的文字，向世界显示了中华民族灿烂的古代文明。

刘徽之后约200年，我国南北朝时期又出现了一位大科学家祖冲之。他认为刘徽采用割圆术只算到正3072边形就停止了，得出的结果还是不够准确。

如果能在刘徽3072边形的基础上割之又割，作出6144、12288……边形，不就可以求出更精确的圆周率吗?

祖冲之

祖冲之不满足于前人的成就，决定攀登新的高峰。他通过长期刻苦钻研，在儿子祖暅的协助下，反复测算，终于求得了精确度更高的圆周率。《隋书•律历志》中记载了他的成就：

“宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒7忽(3.1415927丈)，朒数3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒6忽(3.1515926丈)，正数在盈肭之间。密律：圆径113，圆周355。约律：圆径7，周23。”

从上述文字记载来看，祖冲之对圆周率贡献有三点：

（1）计算出圆周率在3.1415926到3.1415927之间，即3.1415926