勾股定理的研究乔国芳 左焱 郑志鑫摘要：勾股定理是世界上最伟大的定理之一，其简单表述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。对勾股定理的研究，不同民族在起始时间上不同。在中国可以追溯到周朝，商高提出了“勾三股四弦五"的勾股定理的特例，在西方可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派，但最早使用勾股定理的是古巴比伦人。勾股定理不仅是一些数学定理的基础，在生产和生活中的应用也很广泛。本文通过研究勾股定理的起源和历史，根据古代发现优先权的确立原则与判定标准确定了古希腊和古代中国同时发现了勾股定理这一结论。本文还总结了勾股定理有史以来的名称和证明方法；讨论了勾股定理的古代和现代的应用；最后分析了勾股定理的推广和影响。关键字：勾股定理；定理起源；定理证明；定理教学勾股定理是数学中的一个基本定理，是几何学中的明珠，既重要又简单。千百年来，人们对它的证明趋之若骛，才使它成百次地反复被人论证，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。勾股定理也是已知证明方法最多的一个数学定理。关于勾股定理的起源和发现问题，各国各民族都有不同的记载。西方的文字记载表明，毕达哥拉斯于公元前550年发现了该定理。

而中国最早关于勾股定理的传说是大禹治水时期，约公元前2100年， 《周髀算经》中有记录。除中国及希腊以外的其他民族也较早的应用了勾股定理。有人根据“普林顿322"号泥板推断，古巴比伦比别的文明古国早1000多年就知道了勾股定理的详细证明，“普林顿322"号泥板还提供了更多证据，从中可以发现有30组勾股数的一些图形，只是没有发现勾股定理的文字记载。公元前5世纪，印度数学中给出的关于祭坛比例的有关规律也暗含了该定理的存在。约公元前2000年，古埃及的“拉绳者”已能解决丈量、建造直角问题。在我国，古代的数学家没有把主要精力放在仅仅给出严格的逻辑推理证明上，也没有在不可通约量究竟是什么性质的数上面做文章，而是立足于对由此可以解决的一类实际问题算法的深入研究．通过在直角三角形范围内讨论与勾股定理、相似直角三角形性质定理有关的命题，他们推出了一种组合比率算法勾股术．勾股术把相似直角三角形的概念作为基本概念，把相似直角三角形的性质作为基本性质，使相似直角三角形之间的相似比率构成了勾股的核心．勾股术用比率表达相似勾股对应边成比例的原理，勾股整数和勾股两容（容圆、容方）问题的求解；建立了勾股测量的理论基础．后来，刘徽实际上把相似勾股形理论确定为勾股比率论，并明确提出了“不失本率原理”，又把这个原理与比例算法结合起来，去论证各种各样的勾股测量原理，从而为我国古代的勾股测望术建立了坚实的理论基础．在名称方面，勾股定理在我国以前也叫过毕达哥拉斯定理，是随西方数学传入时翻译的名称。

20世纪50年代学术界曾展开关于这个定理命名的讨论，上述前面几种名称都被提及。最后决定不用人名，叫“勾股定理”，得到教育界和学术界的普遍认同。1993年，全国自然科学名词审定委员会公布数学名词，确定这一定理的汉文名称叫勾股定理，其对应的英文名是Pythagoras theorem，注释中说：“又称‘毕达哥拉斯定理’。曾用名‘商高定理’。’’至此，“勾股定理’’成为国家确立的标准名称。在表达上，古希腊人崇尚几何推理，且把所有涉及数的命题都用几何量来表示。在毕达哥拉斯时代，无理数理论尚未建立，因此很难说他们已经建立了数的勾股定理。数学史家的推测是他发现的是形的勾股定理，并且给出某种证明，后来被欧几里得收入《几何原本》中，在本文前面已经提到，不再赘述。严格说来，数的勾股定理依赖于线段的测度理论，即要明确每一条线段都有长度，需要建立实数理论，更符合现代数学思想。我们的中学数学教材采用数的勾股定理体现了“与时俱进”，也便于后来接受解析几何数形结合的思想。令人惊奇的是，中国古代《周髀算经》记载的居然就是数的勾股定理。数学讲究严格论证，任何结论都要经过逻辑推理一步一步证出来。未加证明的论断只能称为命题，经过证明以后才能叫定理。

勾股定理的提出是一回事，对它进行严格证明是更了不起的事。现在勾股定理证明的方法已经有几百种了，仍有人探索勾股定理的证明方法。 勾股定理的证明方法太多，不一一列举。但是把这些方法总结一下，可分为以下几类。第一，算法化证明，以古代中国证明方法为代表。《周髀算经》卷上之二记载了荣方和陈子两个人的问答，陈子解释如何求出观测者到太阳的距离时说：“若求邪(同斜)至日者，以日夏为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”，用符号表示就是C=√口2+62。这实际上是给出了一种已知直角三角形两直角边求其斜边的算法。在此基础上建立起来的、代表中国古代几何学的“勾股术"，给出的都是如何由已知的边长来求未知边长的算法。关于这一点在赵爽的《周髀算经》的注中说得很清楚：“勾股之法，先知二数，然后推一”，也就是说中国的勾股定理是一种计算程序，具有一定的方向性，这种方向性具有程序化的算法特征。回过头再看赵爽、刘徽的证明都体现了算法化。在思想方法上，主要应用的是“出人相补原理”，这是我国古代几何学中最为根本的思想方法。第二，演绎性证明，古希腊的证明方法是其代表。欧几里得《几何原本》第l卷47题其叙述形式为“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形”，用符号语言表述就是C2=a2+62，显然是把边的平方当作正方形的面积来对待的。

在《原本》中，图形的面积被看作是一种几何的量，而不是一种表述多少的数。只探究图形面积之间的大小关系， 而不关心具体图形的面积计算。在《原本》中除了推理的需要提及矩形与正方形的面积公式之外，没有给出其它任何图形的面积计算公式。论证有关面积关系命题的逻辑起点是《原本》中提出的公理4(彼此能重合的物体是全等的)与公设5(即平行公设)，特别是在此基础上建立的三角形全等的判定定理与定理“如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在平行线之间，则平行四边形是这个三角形的二倍"，在论证中往往起着穿针引线的作用，这一点在所给出的勾股定理的证明中表现的尤为突出。意大利著名画家达·芬奇给出的奇妙证明也是这种思想下的产物。第三，代数计算证明，也可以说是中西古代数学思想方法的结合。这种方法中既有算法思想，又体现了演绎推理。如“总统证法"， 3．1．10中的证法，还有其他利用相似三角形的性质、利用圆的性质的证法等等。证明勾股定理的方法无外乎这样三类。另外需要注意，证明勾股定理要防止循环论证，即不能用依靠勾股定理证明出来的定理来证明勾股定理。例如两点间的距离公式；海伦公式；正弦定理；余弦定理；平方公式；和差化积公式等等。

4勾股定理的应用、推广及影响4．1勾股定理的应用4．1．1古代应用勾股定理的应用，古已有之。在古埃及，拉绳者测量土地，建造金字塔；在古印度，建造祭坛；在古代中国，利用勾股定理更有大量实例。以《九章算术》的第九卷“勾股"和李冶的《测圆海镜》为代表。《九章算术》的第九卷“勾股”包含二十四个问题。前三个问题是勾、股、弦之间是关系，后面二十一个问题是勾股定理的应用，种类繁多，内容丰富。～般一道题由三部分组成，分为题、答、术，也有几道题一术的，术就是算法。大体分这样几类：1，知勾及股、弦的关系求股、弦：2，知勾、股、弦的关系求勾、股、弦；3，知勾、股求容方、容圆问题；4，用勾股定理求其他复杂问题等等。下面选几道经典题，不一一叙述了。第1类：“勾股"章第六题是著名的“引葭赴岸"问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何?‘蜘答日：水深一丈二尺。葭长一丈三尺。术日：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。(如图4．1)图4．1C／彳图4．2今译：今有正方形水池边长为1丈，芦苇生长在水的中央，长出水面的的部分为1尺。将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐接，问水深、芦苇的长度是多少?答：水深l丈2尺，芦苇长度为1丈3尺。

辽宁师范大学硕士学位论文算法：将水池边长的i1自乘，以出水高度l尺自乘，后减去它，所得余数，用2倍Z之数去除它，及水深。加上出水数，即得芦苇长。如图4．2，l丈=lo尺，水池边长的去就是5尺，即BC=5，得Bc2-25，出水高度ZCD=I，得CD2=1，所以BC2一CD2=24，24+2=12，即为水深AC=12，加出水数1得芦苇长AB=13。由此对我国古代算法的巧妙、简捷略见一斑。我们不妨用现代的解法把它解出来。如图4．2，设水深AC为X尺。由于CD=I尺，则AB=AD=x+I。又有BC=5尺。根据勾股定理，得“+1)2=X2+52x=12芦苇长彳召利D=12+1=13所以，水深为12尺，芦苇长为13尺。在印度也有一道与之类似的题，是印度中世纪著名数学家婆什迦罗著作《莉拉沃蒂》中的“莲花问题"，如图4．3：爹图4．3平平池水清可鉴，面上半尺生红莲，出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。花触水面半浸没，偏离原位二尺远，能算诸君请解题，池水如何知深浅?这道题目，就不作解释了。另外，明代杰出数学家程大位所著的《算法统宗》里有一道“荡秋千"的题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行两步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几?第2类： “勾股"章第十二题是测量大门的宽、高及对角线：今有户不知高广，竿不知长短。

横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问户高、广、邪各几何?啮1勾股定理研究答日：广六尺，高八尺，袤一丈。术日：从、横不出相乘，倍，而开方除之。所得加从不出，即户广；加横不出，即户高；两不出加之，得户邪。今译：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等。问门高、宽和对角线的长各是多少?答：门宽6尺，高8尺，对角线长1丈。算法：“从不出"与“横不出"相乘，再乘以2，然后开方。所得之数加“从不出"即为门宽，加“横不出"即为f-Ji害i；“从不出”、“横不出"同加之，得门的对角线长。今解：根据题设条件，作图4．4，设门之对角线BD长为x尺，门宽BC则为(x．4)尺，门高CD则为(x-2)尺，DC图4．4则得x2=(X--4)2+(x一2)2，解得：五=10尺，而=2尺(舍)， BC=10尺．4尺=6尺，CD=10尺．2尺=8尺。以下几道题目在这里不做解释了。第3类：“勾股"章第十五题是容方问题：今有勾五步，股十二步。问勾中容方几何?答日：方三步、十七分步之九。术日：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步。十六是容圆问题：今有勾八步，股十五步。

问勾中容圆，径几何?答日：六步。辽宁师范大学硕士学位论文术El-八步为勾，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以勾乘股，倍之为实。实如法得径一步。第4类：“勾股”章第十四题是行程问题：今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲乙行各几何?嘲答日：乙东行一十步半；甲邪行一十四步半及之。术日：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，馀为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实。实如南行率而一，各得行数。十七到二十二题是与城邑有关的计算问题，仅说一下二十。今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何?答日：二百五十步。术日：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。并出南门步数为从法，开方除之，即邑方。二十三题是测量山高：今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何?答日：一百六十四丈九尺六寸、太半寸。术日：置木高减人目高七尺，馀，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一，所得，加木高即山高。

二十四题是测量井深：今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问井深几何?答日：五丈七尺五寸。术日：置井径五尺，以入径四寸减之，馀，以乘立木五尺为实。以入径四寸为法。实如法得一寸。其他，如李冶的《测圆海镜》中勾股定理也得到了广泛的应用，里面有一重要的有关勾股的图叫做“圆城图式”。∞1如图4．5：勾股定理研究翌坤纛磺魑夕照裘恕花图4．5还有，三国时的刘徽撰写的《九章算术注》的第十卷，单独的名字叫《海岛算经》。因第一题是测量海岛的高和远而得名。所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。共9道题，也广泛应用了勾股定理。从以上看，勾股定理的应用，在古时就已经很广泛了，用它解决了各种与直角有关的问题。4．1．2现代应用勾股定理的现代应用更加广泛，在天文、地理；生产、生活等都有。例如，将角钢、槽钢等型材零件焊接成所需要的几何形状零部件中，其中要求组成直角的最多。一般操作中是以直角尺为基准，将零件找正后焊接。对较大较长的零件用较小的直角尺找正，直角两边零件组成的直角误差较大。如果直角尺太大，使用中很不方便。用勾股定理确定直角的方法找正、焊接，解决了上述不足，并且垂直度误差较小。

检测某建筑物四边形地基的四个墙角是否是直角，分别测量地基的两边长和一条对角线的长，看它们是否满足勾股定理即可。用勾股定理设计非圆形的钟表，比如是长方形的种面(如图4．6)，长为2口，宽为26，(口≥x[3b)就可以找到其它整点时刻对应的点。连接OA，(0为对角线交点，彳为图4．6 图4．7辽宁师范大学硕士学位论文12点所对应的点)，以。为顶点，以OA为角的一边，在其右边做一个30。的角，交点为B，则得到Rf厶OAB，点曰是l点钟所对应的点(图4．7)。因为Z'AOB=30。，所以瓦OB=2AB，因为OA2+AB2=OB2，所以b2+AB2=4AB2，彳B2=．1_b2，AB=半b。同理j j其右边做一个60。的角，可找出点C是2点钟所对应的点，这样其它点都可以用勾股定理找到。还有像农村建房中用的三脚架、物理学中力的分解等等很多现代社会生活中的问题都用到了勾股定理，不一一说明了。4．2勾股定理的推广勾股定理有多种推广形式，它们已成为数学中饶有趣味的几何题。下面举几个例子。公元前5世纪后期，希腊数学家希波克拉底(Hippokrates ofKos，公元前5世纪下半)讨论过化月牙形为方的问题，目的是为了化圆为方。

他用到了“圆上相似弓形的面积之比等于它们底边的平方之比"的结论，其证明依赖于“两个圆面积之比等于它们直径的平方之比’’。(图4．8)容易推出，以直角三角形斜边AB为直径的半圆面积等于以两个直角边AC、BC为直径的半圆面积之和。B图4．8公元4世纪，希腊数学家帕波斯(Pappus ofAlexandria，约公元300．-350年)在其著作《数学汇编》中这样推广了勾股定理(如图4．9)口1：设三角形ABC为任意三角形，平行四边形AEDB和ACFG是在边AB和AC上向外作的任意平行四边形，延长两条外边DE与FG相交于日，联结HA，在边BC向外作BL∥倒∥CM，且BL=HA=CM，即四边形BLMC也是平行四边形，则有SBLMC=SAEDB+SACFG。该结论在两个方面对勾股定理作了推广，一是三角形是任意三角形，二是在三角形边上作的是任意平行四边形。假如该三角形是直角三角形，在边上向外作的又是正方形，则就是勾股定理。勾股定理研究D上． M图4．9到公元9世纪时，阿拉伯数学家塔比伊本库拉(Thglbit ibn Qurra，约公元826__901)也提出一种勾股定理的推广(图4．10)，设三角形ABC为任意的三角形，在BC边上取B7、C 7，使得刎B B=--／A C C=--／A，则有如下式子成立，么矿叫C2=召C佃B，+CC，夕。

可见，勾股定理只是其特例。圆AB C’图4．10C在立体几何中还发展出了“空间勾股定理"(如图4．11)，设D_)，z是欧氏空间坐标系，彳、B、C分别是X、Y、z轴上任意截取的点，则形成的4个三角形有关系式82。a．48C=S2,△oAc+S240Bc+s2△oAB 图4．11辽宁师范大学硕士学位论文我们认为在长方体中也有勾股定理的推广，即体对角线的平方等于从同一顶点出发的三条棱长的平方和，，2-a2+62+c2，如图4．12。图4．12此外，在直角三角形的三边上作相似多边形，则两直角边上的多边形面积之和也等于斜边上的多边形面积。勾股定理还有其他形式的推广，我认为勾股数组也是勾股定理的延伸和推广。我们常见的勾股数组的通式有以下几种：(1)3 n，4行，5 n伽是正整数)。如(3，4，5)， (6，8，10)，??这组通式由商高说的“句广三，股修四，径隅五"而来，说明只要一组数满足分别是3、4、5的倍数，这组数就满足勾股定理，从而是一组勾股数。(2)2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1锄是正整数)。如(5，12，13)， (7，24，25)， (9，40，41)，??这是毕达哥拉斯学派研究不定方程x2+y2=z2给出的一组勾股数通式，其特点是斜边与其中一直角边的差为1。

满足这组通式的正整数组，叫做“毕达哥拉斯数"或“毕达哥拉斯三元数组"简称“勾股数"。乜"3(3)2n，n2．1，n2+1(n是正整数)，这一组是大约公元前380年柏拉图给出，特点是斜边与长直角边的差为2。以上三种都没有给出全部勾股数组，现代数论研究表明下面这组才是不定方程X2+y2=z2的“原始解"，即(4)(4)2mn， m2_n2， m2．-I-rt2(聊>，z， (彤，胛)=1，m、i,／一奇一偶)，国外最先掌握这全部原始解公式的数学家是古希腊的丢番图，他的《算术》中有若干题用到了这一公式，只是没有明显地表达出来。中国《九章算术》中已经应用了勾股数组的全部原始解公式。该书卷9《勾股》题14的“术日"中使用了勾股数组的一般表达式，相当于：x=mlv／，Y=锄2 l,12夕／2，z=锄2-'l-z12)／2，其中脚>玎，m，n是互素的奇数。公元263年刘徽注释《九章算术》时说明了这一公式的来源，并利用图形给予证明。印度《测绳的法规》曾中给出勾股数组的特殊解，而一般原始解公式直到7世纪才由婆罗摩笈多得到。乜14．3勾股定理的影响德国天文学家开普勒(Johannes Kepler，1571—1630)曾说过：“几何学有两大宝藏，一个是勾股定理(毕达哥拉斯定理)，一个是黄金分割。

前者有如珠玉，后者堪称黄金。”n1由此可见，勾股定理在几何学中的地位和影响是巨大的。有“珠玉"直接或间接导出了一些重要的公式和定理：1两点间的距离公式d=√x2+y2，在平面直角坐标系下，d是彳似∥到原点0(0，0)的距离。如图4．13，过4作AB／x轴，垂足为B似砂，N--角形OAB直角三角形，由勾股定理可得：伽2=0四2+AB2，即d2=x2+y2，从而可得到两点间的距离公式d：0F可，这是直接由勾股定理推出的。／ Iy／ (x。y)／ ．7 fo(o． o) B(X。o)x图4．132正弦定理：蠢=五b函=五≥22足，其中尺是三角形外接圆半径，以锐角三角形为例，如图4．14，LMBC及它的外接圆0，过B ig,作lige BD，贝J]BD=2R，联接CD，则幼CD是直角。所以在mz△BCD ，sinD=焘，又因为么A和么D是同弧上的圆周角相等，所以siIl彳=蠢，即击=2R，同理可得磊b函22R，磊≥22R，从而可得TF弦定弹．这是间接应用勾股定理推导的。．．里室堕垫盔堂堡主堂垡迨壅一一●———————————————————————————————————————————————一图4．14 3海伦公式s=～[—s(s-a)(s-—b)(s-c)，其中s=三(口+6+c)；4余弦定理：5平方公式：6和差化积公式：a2：b2+c2—2bccosA，b2：a2+c2—2accosB，C2=a2+62—2abcosC osin2 x+COSz x=1；sinx+siny=2sin[(x+y)／2]COs[(x-y)／2]，sinx—siny=2cos[(x+y)／2]sin[(x-y)／2]，eosx+cosy=2cosE(x+y)／2]cosI(x—y)／2]，eOSX—cosy=一2sin[(x+y)／2]sin[(x-y)12]；等等。上述公式、定理不一一推导了。勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓。诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系。就世界范围来看，勾股定理推动了几何学的发展，许多几何定理都是以它为基础，为前提条件的。