底层逻辑思维是打开数学世界的一把万能钥匙。

“刷题”是一个在中小学生口中广泛流传的新兴词汇。很多学霸在讲述学习经验时，也会提到“刷题”二字。刷题似乎成为了一把学习的“万能钥匙”。

几何原理（几何原理一书的明代科学家是谁）

打开百度，搜索“刷题”，你会发现各种刷题软件，刷题技巧层出不穷。事实上，刷题对大部分学生来说，根本无效!

为什么会这样呢？

有人说，方法不对

有人说，数量不够……

这些答案，听起来似乎有道理，其实都没有触及到本质。

刷题无效的根本原因是：没有掌握数学的底层逻辑思维。

美国学者乔希·考夫曼说：“无论你学习什么科目，其中最为美妙的事情便是，你不用知道所有的知识点，而仅仅只需要知道一些浓缩其核心原理即可，一旦建立起核心原理的框架，学习知识甚至进一步拓展便是轻而易举的事了。”

美国著名学家和数学教育家波利亚代表作《怎样解题》，就是教人们在学数学时，如何摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。

当代数学家N．G．德布鲁因曾这样评价：“波利亚是对我的数学活动影响最大的数学家。他的所有研究都体现出使人愉快的个性、令人惊奇的鉴赏力、水晶般清晰的方法论、简捷的手段、有力的结果。如果有人问我，想成为什么样的数学家，我会毫不迟疑地回答：波利亚。”

《怎样解题》最早出版于1944年的美国，这本书之所以经久不衰是因为书中把解题的思维过程制作成一个解题表格，引导我们按照表中的问题和建议思考问题，探索解题路径，进而掌握解题的一般规律。

下面我们将从理解题目、寻求思路、执行方案、检验回顾四个方面，让大家来了解这本书的核心内容：如何运用数学底层思维进行解题。

接下来，我们先聊一聊理解题目。

理解题目

很多时候，学生拿起题目，囫囵吞枣看了一遍，觉得题目已经很熟悉，就着手开始解题。结果发现题目还是做错了。

为什么会出现这种情况？

有人说，是因为粗心大意。

其实，根本原因在于没有理解题目。

或许你会说，题目我已经很熟悉了，怎么会没理解题目呢？

熟悉题目不等于理解题目，熟悉题目只是理解题目的开始。读数学题要把题目的主要部分分离出来。

证明题的主要部分是前提和结论，求解题的主要部分是未知量、已知量和条件。

仔细阅读各部分的主要内容，先一个接一个地依次对他们进行考虑，再将它们以不同的方式组合起来考虑，把每一个细节同其他细节以及每一个问题同整个题目联系起来。

我们要尽可能清晰、生动地使整个题目形象化。这时，记忆就会活跃起来，寻找题目和过去所获知识之间的联系，从而引导解答题目。

如果该题目能用一幅图表示，就应画一张图，在图上标明未知量和已知数据。画图解题法可以培养逻辑思维能力，促进从形象思维逐步过渡到抽象思维。

分离出题目的主要部分进行画图，把该题的条件、问题在图上表明，借助线段图或实物图把抽象的数学问题具体化，还原本来的面目，从而找到解决问题的方法。

比如一些求积题，结合题目的内容画出立体图，题目就变得直观、形象，有利于思考解题。

还有一些题目条件多，条件之间关系复杂，一时难以解答。可画线段图表示，寻求解题的突破口。

解题不仅可以使用画图法，也可以使用图表法。比如有些问题因为分析的角度不同，因此解题的思路也不同。通过画图能清楚看出解题思路，便于分析比较。

解题时通过画图来帮助理解题意，起到了化繁为简、化难为易的作用。

不仅画图可以帮助我们理解题目，如果需要给一些对象命名，也可以引入适当的符号。最典型的就是利用方程式解题。

美国数学家G?波利亚说：“对你不理解的问题作出答复是愚蠢的。为你所不希望的目标工作是悲哀的。”

所以，这个熟悉题目时不够的，必须深入理解题目。借助画图、图标和符号等各种方式，使题目更加直观性。

熟悉和理解题目从叙述题目开始，将题目的主要部分分离出来，尽可能清晰、生动地把题目形象化。接着从不同的方面考虑题目，寻找与过去所获知识之间的联系，这就是我们下面要聊的内容寻求思路。

寻求思路

在做数学题时，特别是不熟悉的题目，我们会反复读题，有时会浪费很多时间，最后还是不得要领，写不出来。

为什么会出现这种情况呢？

也许你会说，以前没有遇到过这种类型，不熟悉；

或者说，条件太多了，不知道怎么下手……

其实，是读题时关注点不对。

我们读题时，大部分注意力会放在已知条件上，对于熟悉的题目，已知条件读完，自然就列出了求解的式子。而不熟悉的题目，就会束手无策。

数学家波利亚告诉我们，解题的关键是观察未知量，盯住目标。我们要把注意力集中在目标上，考虑达到它的方法和途径。

我们可以问自己：“要求是什么，你想要什么，你应该去寻找什么？”这里需要用逆向思维来考虑问题，未知量是通过什么条件与已知数据相联系？

一般在解题时，我们都需要变化题目，变化题目的方法常用的是类比法、分解和重构。

所谓类比法就是寻找类似题目，我们尽量想出一些你熟悉的具有相同未知量的题目。类比的最大好处，能将陌生的问题转化为熟悉的问题。

还有一种方法是分解和重组。这个方法的核心策略，就是在整体和细节之间切换观察。不停地切换视角。先整体观察题目，再观察题目的细节，每个细节都观察到之后，再回到整体。

下面我们看一个例子：一只熊从P点出发，向正南走一公里，然后改变方向，向正东走一公里，然后再向左转，往正北走一公里，此时它正好回到了它出发的P点，请问，这只熊是什么颜色的？

我们盯住这道题的未知量，未知量是熊的颜色。怎么从已知数据中得出熊的颜色呢？

显然，我们的数学公式是计算不出熊的颜色，所以我们需要考虑把问题回归到数学语言上去。

根据已知条件，我们画图得出一个三角形，我们出发的P点位置是正北方。这时，我们发现，P点的方位才是这个题目的真正未知量。

P点应该在北极，北极出现的熊应该是极熊，北极熊的颜色自然是白色。

解答一个题目的主要成就在于构思一个解题方案的思路。解题方案给出了一个总体框架，下面要确信所有细节都符合这个框架。这就是我们接下来要聊的内容：执行方案。

执行方案

要拟定一个方案，构思一个解题思路，并不容易，需要以前的知识，良好的思维习惯等等，而执行一个方案就容易多了。我们需要的主要是耐心。

在寻找问题和过去所获知识之间的联系时，会有很多念头，或有用或没用，或完整或残缺。

执行方案前我们需要梳理这些念头，对于有利的念头，我们应该考虑的根据一些；对于可靠的念头，要弄清楚，它可以引导我们走多远，并重新考虑整个情况。

由于这个有用的念头，整个情况已经发生了改变，我们需要从不同的方面来考虑新的情况，并找到与过去知识之间的联系。

这样做我们会得到什么呢？

如果幸运，我们会产生一个念头，这个念头会引导我们走上解答之路。执行方案方就是从有效念头开始的。

什么是有效念头？

念头是完整的，可以为我们指示整个或部分途径，可以或多或少地指导我们如何继续。

从引导我们获得解答的那个幸运念头开始，我们就掌握了主要联系，可以补充一些次要细节。

解题方案给出了一个总体的框架，我们必须使自己确信细节都符这个框架，所以我们不得不耐心地逐个检查所有细节，直到每一点都非常清晰，不再有任何可能会隐藏着错误的含糊之处。

如果题目十分复杂，可以区分出“大”的步骤和“小”的步骤。每一个大的步骤中又包含好几个小步骤，先检査大步骤，再依次深入到一些小的步骤中去。

波利亚在执行方案的时候，给我们列了一个问题清单，我们可以根据这个清单来执行。

每一步都检查过了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？

我们也可以通过形式上的规则来推导出有疑问的关键点，即以形式推理确认每一步的正确性。

也可以把注意力放在有疑问的关键点上，通过直观洞察的方法，直到弄明白，从而对每一步的正确性毫不怀疑。

执行解题方案是检查每一步，确定其正确性。如何进行确保最终结果的正确性，就是我们下面要聊的内容：检验回顾。

检验回顾

从我们上小学的时候，老师就会反复强调，做完试题一定检查，保证我们做题的准确性。

怎么检验呢？

有两种验证方法：量纲检验和特殊化。

乍一听这两个名词觉得很深奥。其实，我们每个人在上小学的时候，都已经会用了这两种方法。

量纲是长度、面积、重量的标准单位。量纲检验是一种快捷而有效检验几何和物理公式的方法。具体做法就是把表达式每一项的单位代入进去，看看两边是不是相等。

比如长方体的面积公式，S=ab，左边是面积，单位是平方厘米；右边是长和宽，单位都是厘米，相乘后就是立方厘米，这样两边单位都是立方厘米。这种验证方法就是量纲检验。

另一种验证方法叫做特殊化。简单来说，就是用具体的值来验证公式。

还是上面长方形公式，假如长宽都是1厘米，那么面积就是1平方厘米。为了验证结果是否正确，我们就把数值1代入到公式中，算出来面积果然也是1平方厘米。

量纲检验和特殊化可以组合起来用，如果你的解答有问题，用这两种检验方式，可以快速发现错误。

我们理解了题目，找到了思路，完成了解答并且验证无误。到这里，很多人会认为认为解题的任务已经完成了。

但是波利亚告诉我们，还遗漏了解题中一个重要而有益的步骤：回顾。

也许你会问，为什么还要回顾，这不是浪费时间吗？

我们要树立一个思想，解题不只是为了找到答案，更重要的是找到可复用的解题方法。

怎样进行有效回顾呢？

波利亚列出了一张清单，帮助我们从不同的方面考虑解答，寻找与过去所获知识之间的联系。

清单包括内容：结果检查了吗？论证过程检查了吗？能否用另外的方法推出结果？能否将方法用于解决其他题目？

一个好老师会让他的学生深刻认识到：没有任何一个题目时彻底完成了，总还会有些事情可以做，早经过充分的研究和观察以后，我们可以将任何解题的方法加以改进，武林五河，我们总可以深化我们对答案的理解。

这样做的结果不言而喻，即使找不到更新的答案，我们也会获得条理分明的思路，提高我们的解题能力。

检验可以增强我们对结果的确定性，回顾可以提高我们的解题能力。

《怎样解题》是一本圣经，教会了我们用探索法学习数学，用数学思维解答生活中的难题。

波利亚说：解题是一种实践性技能，我们可以通过模仿和实践来学会任何一种实践性技能。

生活的过程也是一个解题的过程，学会从底层思维看透事物本质，你就会拥有开挂的人生。